Funkcje cyklometryczne

[bakos3321]

Witam.
Nie miałem tego wcześniej, więc nie jestem dobrze jeszcze obeznany w tej części... Jakby ktoś mógł pomóc mi z tymi przykładami byłbym bardzo wdzięczny.

1. \(\displaystyle{ ctg[\frac{1}{2}arc cos(-\frac{4}{7})]}\)

2. \(\displaystyle{ arc cos \sqrt{\frac{2}{3}}-arc cos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}}=\frac{\Pi}{6}}\)

3. \(\displaystyle{ arc sin\frac{2}{3\sqrt{x}}-arc sin\sqrt{1-x}=arc sin \frac{1}{3}}\)

4. \(\displaystyle{ 6arc sin (x^{2}-6x+8,5)=\Pi}\)

Dziękuję i pozdrawiam.

[scyth]

Bardzo przydadzą się tożsamości trygonometryczne:
... ometryczne
Używam oznaczeń TeX-owych na funkcje trygonometryczne.

1.
\(\displaystyle{ \rightarrow \cot \frac{1}{2} x = \frac{\sin x}{1-\cos x} \\
\cot ft( \frac{1}{2} \arccos ft( - \frac{4}{7} \right) \right) =
\frac{\sin (\arccos ft( - \frac{4}{7} \right))}{1 - \cos (\arccos ft( - \frac{4}{7} \right))} = \frac{\sqrt{1- \cos^2 (\arccos ft( - \frac{4}{7} \right))}}{1 + \frac{4}{7}} =\\= \frac{\sqrt{1- ft( - \frac{4}{7} \right)^2}}{\frac{11}{7}}
= \frac{7}{11} \sqrt{\frac{49-16}{49}} =
= \frac{7}{11} \frac{\sqrt{33}}{7} = \frac{\sqrt{33}}{11}}\)

[ Dodano: 1 Stycznia 2008, 16:05 ]
2.
\(\displaystyle{ \cos ft( \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} - \arccos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} \right) =\\=
\cos ft( \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} \right) \cos ft( \arccos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} \right) + \sin ft( \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} \right) \sin ft( \arccos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} \right) =\\=
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} \frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} + \sqrt{1-\cos^2 ft( \arccos \sqrt{\frac{2}{3}} \right)} \sqrt{1- \cos^2 ft( \arccos\frac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{3}} \right)} =\\=
\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{6} + \sqrt{1-\frac{2}{3}} \sqrt{1- \frac{7+2\sqrt{6}}{12}} =\\=
\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{5- 2\sqrt{6}}}{6} =
\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5- 2\sqrt{6}}}{6} =\\=}\)
OK, nie mam pomysłu teraz jak to poskracać, ale policzyłem, że jest to równe \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6}}\), czyli równanie zachodzi.

[ Dodano: 1 Stycznia 2008, 16:14 ]
3.
\(\displaystyle{ \sin ft( \arcsin\frac{2}{3\sqrt{x}}- \arcsin\sqrt{1-x} \right) =\\=
\sin ft( \arcsin\frac{2}{3\sqrt{x}} \right) \cos ft(\arcsin\sqrt{1-x} \right) - \cos ft(\arcsin\frac{2}{3\sqrt{x}}\right) \sin ft(\arcsin\sqrt{1-x} \right) =\\=
\frac{2}{3\sqrt{x}} \sqrt{1-\sin^2 ft(\arcsin\sqrt{1-x} \right)} - \sqrt{1-\sin^2 ft(\arcsin\frac{2}{3\sqrt{x}}\right)} \sqrt{1-x} =\\=
\frac{2}{3\sqrt{x}} \sqrt{1-(1-x)} - \sqrt{1-\frac{4}{9x}} \sqrt{1-x} =\\=
\frac{2}{3} - \sqrt{1-\frac{4}{9x}} \sqrt{1-x} \ne \frac{1}{3}}\)
Hmm... można było od razu pokazać, że nie zachodzi dla \(\displaystyle{ x=1}\).

Ale czekaj, to było chyba rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} - \sqrt{1-\frac{4}{9x}} \sqrt{1-x} = \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} = \sqrt{1-\frac{4}{9x}} \sqrt{1-x} \\
\sqrt{x} = \sqrt{9x-4} \sqrt{1-x} \\
x=\frac{2}{3}}\)
Mam nadzieję, że ostatnie równanie potrafisz rozwiązać .

[ Dodano: 1 Stycznia 2008, 16:21 ]
4.
\(\displaystyle{ \arcsin(x^2-6x+8,5) = \frac{\pi}{6} \\
x^2-6x+8,5=0,5 \\
x^2-6x+8=0 \\
x=2 x=4}\)