Wykaż, że...

[Ag5]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) są takimi miarami kątów wewnętrznych trójkąta, dla których \(\displaystyle{ \sin\gamma = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}}\), to \(\displaystyle{ \gamma = \frac{\pi}{2}}\).

Podstawiłem \(\displaystyle{ sin(\pi-(\alpha + \beta) = \sin(\alpha + \beta)}\) i rozpisałem \(\displaystyle{ \sin\gamma = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}\) i nie wiem co z tym mogę dalej zrobić .

[dabros]

mozesz sprobowac tak:
\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha+sin\beta}{cos\alpha+cos\beta}= \frac{2sin \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }{2cos \frac{\alpha+\beta}{2}cos \frac{\alpha-\beta}{2} }= \frac{sin \frac{\alpha+\beta}{2} }{cos \frac{\alpha+\beta}{2} }=tan \frac{\alpha+\beta}{2}}\)
wtedy korzystajac z zaleznosci:
\(\displaystyle{ sin(\pi-(\alpha + \beta) = \sin(\alpha + \beta)}\) mamy, ze:
\(\displaystyle{ sin(\alpha + \beta)=tan \frac{\alpha+\beta}{2}}\)

na razie nie wiem co dalej ale moze to cie naprowadzi

[Ag5]

Już mam
\(\displaystyle{ sin(\alpha + \beta)=tan \frac{\alpha+\beta}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta) = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha + \beta}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2cos\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{1}{cos\frac{\alpha + \beta}{2}}}\)
\(\displaystyle{ 1 - \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \iff + \beta = \frac{\pi}{2}}\)

Dzięki za naprowadzenie

[dabros]

nie ma za co - az wstyd ze sam nie potrafilem tego dokonczyc (chyba sie starzeje )