Oblicz...

[Ag5]

Oblicz:
1. \(\displaystyle{ \sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha}\) , jeśli \(\displaystyle{ \sin\alpha + \cos\alpha = m}\)
W tym przykładzie dochodzę do \(\displaystyle{ 1-3\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}\) i się zacinam .

2. \(\displaystyle{ \cos^{8}\alpha - \sin^{8}\alpha}\) , jeśli \(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\alpha = m}\)



Odpowiedzi:
1.\(\displaystyle{ \frac{1 - 3m^{4} + 6m^{2}}{4}}\)
2.\(\displaystyle{ |\cos^{8}\alpha - \sin^{8}\alpha| = \sqrt{1 - 4m^{2}} (1- 2m^{2})}\)

Zadania robię jako przygotowanie do matury.

[Wasilewski]

1)
\(\displaystyle{ sin\alpha + cos\alpha = m \\
(sin\alpha + cos\alpha)^2 = m^2 \\
1+ 2sin\alpha \ cos\alpha = m^2 \\
sin^{2}\alpha \ cos^{2}\alpha = \frac{m^4 - 2m^2 +1}{4}}\)

[Sylwek]

1. No to teraz:

\(\displaystyle{ \sin + \cos = m \ | ()^2 \\ 1+ 2 \sin \cos = m^2 \\ \sin \cos = \frac{m^2-1}{2}}\)

I podstawiasz to do \(\displaystyle{ 1-3 (\sin \cos )^2}\)

[Ag5]

Wasilewski, Sylwek dzięki

[dabros]

co do drugiego przykładu:
\(\displaystyle{ cos^{8}x-sin^{8}x=(cos^{4}x+sin^{4}x)(cos^{2}x+sin^{2}x)(cos^{2}x-sin^{2}x)=
((cos^{2}x+sin^{2}x)^{2}-2(sinxcosx)^{2})(cos^{2}x-sin^{2}x)=
(1-2m^{2}) \sqrt{(cos^{2}x-sin^{2}x)^{2}}=
(1-2m^{2}) \sqrt{cos^{4}x+sin^{4}x-2(sinxcosx)^{2}}=
(1-2m^{2}) \sqrt{(cos^{2}x+sin^{2}x)^{2}-4(sinxcosx)^{2}}=
(1-2m^{2}) \sqrt{1-4m^{2}}}\)

[Ag5]

dabros, dzięki