1. \(\displaystyle{ sinx + sin3x+ sin5x = 0}\)
2. \(\displaystyle{ cos^2x+sinx cosx=1}\)
3. \(\displaystyle{ sinx + cosx = 1}\)
4. \(\displaystyle{ sinx - cosx = 0}\)
Równania trygonometryczne.
-
natkoza
- Użytkownik
- Posty: 2278
- Rejestracja: 11 kwie 2007, o 18:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 602 razy
Równania trygonometryczne.
pierwszym kątem dla którego tak jest jest \(\displaystyle{ 45^o}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) a później tak jest dla \(\displaystyle{ 225^o}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}}\) i tak dalej
-
kmail
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 16 lis 2007, o 16:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stamtąd
- Pomógł: 2 razy
Równania trygonometryczne.
1. \(\displaystyle{ sinx+sin3x+sin5x=0 \iff x=k\frac{\pi}{3}, \ k C}\)
oczywiście dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\) równość zachodzi
ale też:
dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}}\):
\(\displaystyle{ sin(x)=sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ sin(3x)=sin(\pi)=0}\)
\(\displaystyle{ sin(5x)=sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
dla \(\displaystyle{ x=\frac{2\pi}{3}}\):
\(\displaystyle{ sin(x)=sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ sin(3x)=sin(2\pi)=0}\)
\(\displaystyle{ sin(5x)=sin\left(\frac{10\pi}{3}\right)=sin\left(3\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
itd...
2. \(\displaystyle{ cos^{2}x+sinx cosx=1 \iff x=k\pi, \ k C \ \ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k C}\)
dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\):
\(\displaystyle{ cos^{2}x=1}\) a \(\displaystyle{ sinx cosx}\) się zeruje sięc równość jest prawdziwa.
ale też:
dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\):
\(\displaystyle{ cos^{2}x=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx cosx=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ cos^{2}x+sinx cosx=1}\)
3. \(\displaystyle{ sin(x)+cos(x)=1 \iff x=2k\pi, \ k C \ \ x= \frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k C}\)
zachodzi \(\displaystyle{ \iff}\) sin przyjmuje wartość 1 i cos 0 lub na odwrót: sin przyjmuje 0 i cos 1. Można sobie narysować sinusa i cosinusa w jednym układzie współrzędnych, wtedy wszystko ładnie widać
oczywiście dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\) równość zachodzi
ale też:
dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}}\):
\(\displaystyle{ sin(x)=sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ sin(3x)=sin(\pi)=0}\)
\(\displaystyle{ sin(5x)=sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
dla \(\displaystyle{ x=\frac{2\pi}{3}}\):
\(\displaystyle{ sin(x)=sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ sin(3x)=sin(2\pi)=0}\)
\(\displaystyle{ sin(5x)=sin\left(\frac{10\pi}{3}\right)=sin\left(3\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}\)
itd...
2. \(\displaystyle{ cos^{2}x+sinx cosx=1 \iff x=k\pi, \ k C \ \ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k C}\)
dla \(\displaystyle{ x=k\pi}\):
\(\displaystyle{ cos^{2}x=1}\) a \(\displaystyle{ sinx cosx}\) się zeruje sięc równość jest prawdziwa.
ale też:
dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\):
\(\displaystyle{ cos^{2}x=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sinx cosx=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ cos^{2}x+sinx cosx=1}\)
3. \(\displaystyle{ sin(x)+cos(x)=1 \iff x=2k\pi, \ k C \ \ x= \frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k C}\)
zachodzi \(\displaystyle{ \iff}\) sin przyjmuje wartość 1 i cos 0 lub na odwrót: sin przyjmuje 0 i cos 1. Można sobie narysować sinusa i cosinusa w jednym układzie współrzędnych, wtedy wszystko ładnie widać