Witam. Mam problem z udowodnieniem poniższych tożsamości. Jakby ktoś mógł mi pomoć byłbym bardzo wdzięczny.
1.\(\displaystyle{ sin(a-b)+sin(a-c)+sin(b-c)=4cos \frac{a-b}{2}sin \frac{a-c}{2}cos \frac{b-c}{2}}\)
2.\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha+cos(2\beta-\alpha)}{cos\alpha-sin(2\beta-\alpha)}=ctg( \frac{\Pi}{4}-\beta)}\)
3. \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha-sin3\alpha+sin5\alpha}{cos\alpha-cos3\alpha+cos5\alpha}=tg3\alpha}\)
4. \(\displaystyle{ 2(sin^{6}x+cos^{6}x)-3(sin^{4}x+cos^{4}x)+1=0}\)
Dziękuję i pozdrawiam.
Tożsamości trygonometryczne
- przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
Tożsamości trygonometryczne
4
\(\displaystyle{ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \\
L =\sin^2 x (2 \sin^4 x - 3 \sin^2 x +1) + \cos^2 x(2 \cos^4x - 3 \cos^2 x +1) =\\
\sin^2 x (\sin^2x-1)(2\sin^2 x-1) + \cos^2 x (\cos^2 x-1)(2 \cos^2 x-1) = \\
(sin x \cos x)^2 (2 (\sin^2 x+\cos^2 x)-2) = (sin x \cos x)^2 (2-2) = 0 \\}\)
3
\(\displaystyle{ L = \frac{2 \sin 3 x \cos 2x - \sin 3x}{2 \cos 3x \cos 2x - \cos 3x } =
\frac{\sin 3x(2 \cos 2x-1)}{\cos 3x(2 \cos 2x -1)} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x \\}\)
\(\displaystyle{ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \\
L =\sin^2 x (2 \sin^4 x - 3 \sin^2 x +1) + \cos^2 x(2 \cos^4x - 3 \cos^2 x +1) =\\
\sin^2 x (\sin^2x-1)(2\sin^2 x-1) + \cos^2 x (\cos^2 x-1)(2 \cos^2 x-1) = \\
(sin x \cos x)^2 (2 (\sin^2 x+\cos^2 x)-2) = (sin x \cos x)^2 (2-2) = 0 \\}\)
3
\(\displaystyle{ L = \frac{2 \sin 3 x \cos 2x - \sin 3x}{2 \cos 3x \cos 2x - \cos 3x } =
\frac{\sin 3x(2 \cos 2x-1)}{\cos 3x(2 \cos 2x -1)} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x \\}\)
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
Tożsamości trygonometryczne
1)
Wykorzystaj wzór - (zaczynając od prawej)
\(\displaystyle{ sin\alpha{\cdot}cos\beta{\cdot}cos\gamma=\frac{1}{4}(sin(\alpha+\beta-\gamma)-sin(-\alpha+\beta+\gamma)+sin(\alpha-\beta+\gamma)+sin(\alpha+\beta+\gamma))}\)
podstaw :
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{a-b}{2}}\) dalej \(\displaystyle{ \beta=\frac{a-c}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma=\frac{b-c}{2}}\)
Wykorzystaj wzór - (zaczynając od prawej)
\(\displaystyle{ sin\alpha{\cdot}cos\beta{\cdot}cos\gamma=\frac{1}{4}(sin(\alpha+\beta-\gamma)-sin(-\alpha+\beta+\gamma)+sin(\alpha-\beta+\gamma)+sin(\alpha+\beta+\gamma))}\)
podstaw :
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{a-b}{2}}\) dalej \(\displaystyle{ \beta=\frac{a-c}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma=\frac{b-c}{2}}\)