Wykaż zależność w każdym trójkącie

Viper · Post autor: **Viper** » 21 kwie 2005, o 14:58

Udowodnij, że w każdym trójkącie zachodzi związek \(\displaystyle{ \Large\frac{a+b}{c}=\frac{\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}}{\sin{\frac{\gamma}{2}}}}\). Musiałem wkleić obrazek, bo TEX nie chciał przyjąć zagnieżdżonych ułamków. Próbowałem wyjść z twierdzenia Sinusów i Cosinusów, ale bez skutku. Będę wdzięczny chociaż za jakąś podpowiedź.

[Edit: olazola] Trzeba ładnie poprosić to wtedy przyjmie . Zagnieżdżone ułamki trzeba napisać w nawiasach {}

paulgray · Post autor: **paulgray** » 21 kwie 2005, o 18:21

najpierw zauważ że\(\displaystyle{ \alpha+ \beta+ \gamma =180^{o}}\)
teraz przekształcamy prawą stronę:
\(\displaystyle{ \frac{\cos \frac{\alpha -\beta}{2}}{\sin \frac{\gamma}{2}}=\frac{\cos \frac{\alpha -\beta}{2}}{\sin (90-\frac{\alpha +\beta}{2}}=\frac{\cos \frac{\alpha -\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha +\beta}{2}}}\)
kolej na prawą (korzystamy z tw sinusów):
\(\displaystyle{ a+b=2R(\sin +\sin \beta)=2R\cdot 2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta}{2}\\ c=2R\cdot \sin \gamma=2R\cdot \sin (180-(\alpha +\beta))=2R\sin (\alpha +\beta)\\ \frac{a+b}{c}=\frac{2R\cdot \sin \frac{\alpha +\beta}{2} \cos \frac{\alpha -\beta}{2}}{2R\sin (\alpha+ \beta)}=\cos \frac{\alpha -\beta}{2}\cdot \frac{2\sin \frac{\alpha +\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha +\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\cdot \sin (\alpha +\beta)}=\cos \frac{\alpha -\beta}{2}\cdot \frac{\sin (\alpha +\beta)}{\sin (\alpha +\beta)\cdot \cos \frac{\alpha +\beta}{2}}=\frac{ \cos \frac{\alpha -\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha +\beta}{2}}}\)
co też należało udowodnić...

Viper · Post autor: **Viper** » 22 kwie 2005, o 13:29

Dziękuję, jednak nie rozumiem począwszy od trzeciego przekształcenia od końca. Skąd wzięła Ci się w liczniku dwójka? Przecież albo skracasz 2R w liczniku i mianowniku, albo samo R i wtedy zostaje Ci 2 w mianowniku i w liczniku...

paulgray · Post autor: **paulgray** » 22 kwie 2005, o 14:22

sorry-podczasz przekszałcenia połknąłem tą dwójkę-a powinna tam być-wszystko jest dobrze\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c}=\frac{2R\cdot 2\sin \frac{\alpha +\beta}{2} \cos \frac{\alpha -\beta}{2}}{2R\sin (\alpha +\beta)}}\)
jeszcze raz sorry-zwykla literówka

Viper · Post autor: **Viper** » 22 kwie 2005, o 15:04

Fakt, że literówka - sam ją mogłem zauważyć . To pewnie przez to, że mam takich zadań kilkadziesiąt do rozwiązania... Bardzo dziękuję za pomoc i pozdrawiam.