Wykaż tożsamości

[Viper]

Wykaż tożsamości:

a.) \(\displaystyle{ \frac{sin^{2}\alpha}{sin(\alpha - \beta)}+\frac{sin^{2}\beta}{sin(\beta - )}=sin(\alpha + \beta)}\)

b.) \(\displaystyle{ \frac{cos^{2}\alpha}{sin(\alpha - \beta)}+\frac{cos^{2}\beta}{sin(\beta - )}=-sin(\alpha+\beta)}\)

Nie mogę sobie poradzić z tymi przekształceniami. Może ktoś ma jakiś pomysł jak to wykazać?

[olazola]

\(\displaystyle{ \large\frac{sin^2\alpha}{sin(\alpha-\beta)}-\frac{sin^2\alpha}{sin(\alpha-\beta)}=\frac{\(sin\alpha-sin\beta\)\(sin\alpha+sin\beta\)}{sin(\alpha-\beta)}=\frac{2 sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot 2 sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}}{sin(\alpha-\beta)}=\\=\frac{2sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot 2sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}}{sin(\alpha-\beta)}=\frac{sin(\alpha-\beta)\cdot sin(\alpha+\beta)}{sin(\alpha-\beta)}=sin(\alpha+\beta)}\)

Drugie analogicznie.

[Viper]

Dziękuję - nie wpadłem na to, żeby wyłączyć minusa z mianownika przed funkcję sinus .

[ Dodano: Czw Kwi 21, 2005 6:17 pm ]
Przepraszam, ale nie rozumiem w jaki sposób z trzeciego wyrażenia od końca otrzymałaś następne...

[Zlodiej]

Z tego wzoru:

\(\displaystyle{ \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}}\)

Podstaw sobie \(\displaystyle{ x=\frac{\alpha+\beta}{2}}\) i \(\displaystyle{ y=\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

Zauważ, że jak podstawimy mamy wyrażenie:

\(\displaystyle{ 2\cdot \sin{x}\cdot \cos{x}\cdot 2\cdot \sin{y}\cdot cos{y}}\)

A to jest równe:

\(\displaystyle{ \sin{2x}\cdot \sin{2y}}\)