Wykaż, że trójkąt jest prostokątny

Viper · Post autor: **Viper** » 20 kwie 2005, o 22:38

Wykaż, że jeśli w trójkącie zachodzi równość ctg \(\displaystyle{ \frac{\beta}{2}=\frac{a+c}{b}}\), to trójkąt jest prostokątny.

Czy ktoś wie jak to zrobić? Będę wdzięczny za wszelką pomoc.

arigo · Post autor: **arigo** » 20 kwie 2005, o 23:26

\(\displaystyle{ ctg\frac{\beta}{2}=\frac{1+\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{1+\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a+c}{b}}\)

Viper · Post autor: **Viper** » 21 kwie 2005, o 10:29

Dziękuję. Zaskoczyłeś mnie tak krótkim rozwiązaniem, bo z tego co wiem powinno ono zająć z jedną stronę formatu A4 i myślałem, że trzeba wyjść z twierdzenia cosinusów...

Niemniej rozwiązanie jest OK i udowadnia co trzeba. Bardzo dziękuję za pomoc.

olazola · Post autor: **olazola** » 21 kwie 2005, o 17:27

Trochę się czepnę tego rozwiązania. Mieliśmy wykazać, że trójkąt jest prostokątny, czyli wychodzimy od dowolnego trójkąta i wykazujemy, że jest on prostokąty, czyli nie możemy korzystać z tego, że jest on prostokątny.

Viper · Post autor: **Viper** » 21 kwie 2005, o 17:28

No właśnie mam też taką wątpliwość. Tylko jak to zrobić?

arigo · Post autor: **arigo** » 21 kwie 2005, o 17:49

hmmm
z tego co wiem dowod typu "zakladamy ze dana teza jest prawdziwa i wykazujemy prawdziwosc zalozenia" jest legalny

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 22 kwie 2005, o 22:53

arigo owszem. Taka metoda dowodu jest jak najbardziej dozwolona i poprawna, ale wyłącznie gdy wszystkie przejścia w dowodzie są równoważnościami a nie implikacjami. W przypadku twojego dowodu właśnie to przejście z zamianą cosinusa i sinusa nie jest równowaźne.