Wyznacz zbiór tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie:
\(\displaystyle{ sin(x) + sin(y) = sin(x + y)}\)
Wyznacz zbiór tych punktów płaszczyzny...
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Wyznacz zbiór tych punktów płaszczyzny...
Poniżej będziemy korzystać z wzorów:
\(\displaystyle{ \sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2\\
\cos a+\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\\
\sin a=2\sin\frac a2\cos\frac a2}\)
Wykorzystując te wzory przekształcamy interesujący nas warunek:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin y=\sin(x+y)\\
2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x+y}2\\
2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2-2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x+y}2=0\\
2\sin\frac{x+y}2\left(\cos\frac{x-y}2-\cos\frac{x+y}2\right)=0\\
2\sin\frac{x+y}2\left(-2\sin\frac{\frac{x-y}2+\frac{x+y}2}2\sin\frac{\frac{x-y}2-\frac{x+y}2}2\right)=0\\
4\sin\frac{x+y}2\sin\frac x2\sin\frac y2=0\\
\sin\frac{x+y}2=0\text{ lub }\sin\frac x2=0\text{ lub }\sin\frac y2=0\\
\frac{x+y}2=k\pi\text{ lub }\frac x2=k\pi\text{ lub }\frac y2=k\pi\text{ dla pewnego ca\l kowitego }k\\
\fbox{$x+y=2k\pi\text{ lub }x=2k\pi\text{ lub }y=2k\pi\text{ dla pewnego ca\l kowitego }k$}}\)
Czyli nasz zbiór to
\(\displaystyle{ \fbox{$\{(x,y):x+y=2k\pi\text{ lub }x=2k\pi\text{ lub }y=2k\pi\text{ dla pewnego ca\l kowitego }k\}$}}\)
Gdybyśmy go chcieli narysować, to musielibyśmy narysować siatkę z linii pionowych i poziomych odległych od siebie o \(\displaystyle{ 2\pi}\), a do tego musielibyśmy narysować linie ukośne idące skośnie w dół zawierające przekątne wszystkich kratek narysowanej wcześniej siatki.
\(\displaystyle{ \sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2\\
\cos a+\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\\
\sin a=2\sin\frac a2\cos\frac a2}\)
Wykorzystując te wzory przekształcamy interesujący nas warunek:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin y=\sin(x+y)\\
2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x+y}2\\
2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2-2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x+y}2=0\\
2\sin\frac{x+y}2\left(\cos\frac{x-y}2-\cos\frac{x+y}2\right)=0\\
2\sin\frac{x+y}2\left(-2\sin\frac{\frac{x-y}2+\frac{x+y}2}2\sin\frac{\frac{x-y}2-\frac{x+y}2}2\right)=0\\
4\sin\frac{x+y}2\sin\frac x2\sin\frac y2=0\\
\sin\frac{x+y}2=0\text{ lub }\sin\frac x2=0\text{ lub }\sin\frac y2=0\\
\frac{x+y}2=k\pi\text{ lub }\frac x2=k\pi\text{ lub }\frac y2=k\pi\text{ dla pewnego ca\l kowitego }k\\
\fbox{$x+y=2k\pi\text{ lub }x=2k\pi\text{ lub }y=2k\pi\text{ dla pewnego ca\l kowitego }k$}}\)
Czyli nasz zbiór to
\(\displaystyle{ \fbox{$\{(x,y):x+y=2k\pi\text{ lub }x=2k\pi\text{ lub }y=2k\pi\text{ dla pewnego ca\l kowitego }k\}$}}\)
Gdybyśmy go chcieli narysować, to musielibyśmy narysować siatkę z linii pionowych i poziomych odległych od siebie o \(\displaystyle{ 2\pi}\), a do tego musielibyśmy narysować linie ukośne idące skośnie w dół zawierające przekątne wszystkich kratek narysowanej wcześniej siatki.