Rozwiąż równanie II
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Rozwiąż równanie II
\(\displaystyle{ tg^2(x+y)+ctg^2(x+y) = 1-2x-x^2}\)
Przekształcamy:
\(\displaystyle{ tg^2(x+y)+ctg^2(x+y)-2=1-2x-x^2-2\\
tg^2(x+y)-2+ctg^2(x+y)=-1-2x-x^2\\
tg^2(x+y)-2tg(x+y)ctg(x+y)+ctg^2(x+y)=-(1+x)^2\\
(tg(x+y)-ctg(x+y))^2=-(1+x)^2\\
(tg(x+y)-ctg(x+y))^2+(1+x)^2=0}\)
Suma dwóch kwadratów (a więc liczb nieujemnych) ma być równa 0, a więc oba kwadraty muszą być równe 0. Stąd
\(\displaystyle{ tg(x+y)-ctg(x+y)=0\\
1+x=0}\)
A zatem
\(\displaystyle{ \fbox{$x=-1$}\\
tg(y-1)-ctg(y-1)=0\\
tg(y-1)=ctg(y-1)\\
tg(y-1)=1/tg(y-1)\\
tg^2(y-1)=1}\)
Czyli
\(\displaystyle{ tg(y-1)=1}\)
lub
\(\displaystyle{ tg(y-1)=-1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ y-1=\frac{\pi}4+k\cdot\frac{\pi}2}\) gdzie k - całkowite
Czyli ostateczna odpowiedź to
\(\displaystyle{ \fbox{$x=-1$}\qquad\fbox{$y=1+\frac{\pi}4+k\cdot\frac{\pi}2$}}\) gdzie k - całkowite.
Przekształcamy:
\(\displaystyle{ tg^2(x+y)+ctg^2(x+y)-2=1-2x-x^2-2\\
tg^2(x+y)-2+ctg^2(x+y)=-1-2x-x^2\\
tg^2(x+y)-2tg(x+y)ctg(x+y)+ctg^2(x+y)=-(1+x)^2\\
(tg(x+y)-ctg(x+y))^2=-(1+x)^2\\
(tg(x+y)-ctg(x+y))^2+(1+x)^2=0}\)
Suma dwóch kwadratów (a więc liczb nieujemnych) ma być równa 0, a więc oba kwadraty muszą być równe 0. Stąd
\(\displaystyle{ tg(x+y)-ctg(x+y)=0\\
1+x=0}\)
A zatem
\(\displaystyle{ \fbox{$x=-1$}\\
tg(y-1)-ctg(y-1)=0\\
tg(y-1)=ctg(y-1)\\
tg(y-1)=1/tg(y-1)\\
tg^2(y-1)=1}\)
Czyli
\(\displaystyle{ tg(y-1)=1}\)
lub
\(\displaystyle{ tg(y-1)=-1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ y-1=\frac{\pi}4+k\cdot\frac{\pi}2}\) gdzie k - całkowite
Czyli ostateczna odpowiedź to
\(\displaystyle{ \fbox{$x=-1$}\qquad\fbox{$y=1+\frac{\pi}4+k\cdot\frac{\pi}2$}}\) gdzie k - całkowite.