Równanie trygonometryczne (pytanie skąd i dla czego)

gawcyk1986 · Post autor: **gawcyk1986** » 10 gru 2007, o 11:16

1) \(\displaystyle{ sinx+cosx=1}\)
2) \(\displaystyle{ sinx+sin( \frac{\pi}{2}+x) =1}\)
3) \(\displaystyle{ 2sin \frac{x+ \frac{\pi}{2}-x }{2} cos \frac{x+ \frac{\pi}{2}+x }{2} =1}\)

Pytania:
Dla czego postać 2 i 3 tak wygląda. Jakie czynności wykonano. Proszę o wytłumaczenie prostym językiem.

scyth · Post autor: **scyth** » 10 gru 2007, o 11:43

z 1 do 2 - wzory redukcyjne
z 2 do 3 - wzory zamiany sumy na iloczyny funkcji trygonometrycznych

Intact · Post autor: **Intact** » 10 gru 2007, o 11:43

2) zamieniono ze wzorów redukcyjnych
\(\displaystyle{ \cos x = \sin ft( \frac{\pi}{2} + x \right)}\)
3) Zasotosowanu wzór na sumę sinusów:
\(\displaystyle{ 2\sin ft( \frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos ft( \frac{\alpha - \beta}{2}\right)}\)

gawcyk1986 · Post autor: **gawcyk1986** » 11 gru 2007, o 10:49

Jest sobie takie równanie:
\(\displaystyle{ 3sinx=2cos^2 x}\)

Po wykonaniu obliczeń wychodzi:
\(\displaystyle{ sinx=-2}\) lub \(\displaystyle{ sinx= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi}{6} + 2k \pi}\) lub \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi}{6} + 2k \pi}\)

Moje pytanie skąd wzięło się:
\(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi}{6} + 2k \pi}\)

scyth · Post autor: **scyth** » 11 gru 2007, o 10:53

sinus w swoim okresie \(\displaystyle{ [0,2pi)}\) przyjmuje każdą wartość z zakresu \(\displaystyle{ (-1,1)}\) dwa razy.

gawcyk1986 · Post autor: **gawcyk1986** » 11 gru 2007, o 12:25

Tak zgadza się ale w jaki sposób powstało \(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi}{6}}\) Podejrzewam że jest to w taki sposób:

\(\displaystyle{ \pi - \frac{ \pi}{6} = \frac{6 \pi}{6} - \frac{ \pi}{6}}\) Jeśli tak to dla czego i skąd wzięło się: \(\displaystyle{ \pi}\) przed minusem?

scyth · Post autor: **scyth** » 11 gru 2007, o 12:30

ze wzorów redukcyjnuch sinusa:
\(\displaystyle{ \sin (x)=\sin (\pi - x)}\)

... redukcyjne

belzebub16 · Post autor: **belzebub16** » 11 gru 2007, o 13:52

Te \(\displaystyle{ \frac{5}{6}\pi}\) można też wyznaczyć z interpretacji graficzne wykresy y=sin(x).
Otóż rysujemy ten wykres i prostą \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}}\). Zauważmy że w zakresie \(\displaystyle{ (0,\pi)}\) wykres przecina prostą w 2 miejscach. Od 0 do pierwszego miejsca(odczyt na OX) jest taka sama odległość jak od drugiego do \(\displaystyle{ \pi}\). Pierwsze to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) drugie \(\displaystyle{ \pi-\frac{\pi}{6}}\)