równanie z parametrem

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

równanie z parametrem

Post autor: mateusz200414 »

witam!

proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania

Dla jakich wartosci parametru a równanie \(\displaystyle{ sin^2x + sinx + a = 0}\) ma rozwiązanie

pierwsze założenie to oczywiscie delta większa równa zero, otrzymuję \(\displaystyle{ a \in (- \infty , \frac{1}{4} >}\). Teraz intuicyjnie wiem, że \(\displaystyle{ sin^2x + sinx}\), musi być mniejsze równe 2, czyli \(\displaystyle{ a )}\). część wspólna i wynik poprawny.

pytanie jak to zapisać, tak zeby było matemtycznie, a nie "intuicyjnie"

pozdrawiam
mateusz
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

równanie z parametrem

Post autor: Rogal »

Od kiedy to w przypadku równań trygonometrycznych liczymy jakąś deltę???
Weź no tam podstaw zmienną pomocniczą, zrób o niej odpowiednie założenia i zastanów się, jak wygląda wykres paraboli.
mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

równanie z parametrem

Post autor: mateusz200414 »

wiem o zmiennej, zapomniałem o tym napisać. jak wygląda wykres tez wiem. można to zrobić tak, ze otrzymane pierwiastki muszą mieścić się w zbiorze wartości sinusa, ale czy jest inny sposób, czy właśnie tak to trzeba zrobić?
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

równanie z parametrem

Post autor: Piotr Rutkowski »

Tutaj najłatwiejsze jest podejście graficzne. Podstawiasz \(\displaystyle{ t=sinx}\) i patrzysz jak wygląda wykres w przedziale \(\displaystyle{ t\in }\)
mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

równanie z parametrem

Post autor: mateusz200414 »

.... mam zaćmienie, jak narysować wykres takiej \(\displaystyle{ t^2+t+a=0}\) funkcji?
robiłem to kiedyś, ale... mam dziurę, mozecie pomóc?
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

równanie z parametrem

Post autor: Piotr Rutkowski »

\(\displaystyle{ t^{2}+t+a=(t+\frac{1}{2}a)^{2}+\frac{3}{4}a}\)
Masz tu zwykłą parabolę transponowaną o wektor:
\(\displaystyle{ w=[-\frac{1}{2}a,\frac{3}{4}a]}\)
mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

równanie z parametrem

Post autor: mateusz200414 »

zapomniałem co właśnie z tym wektorem ;]
chciałem zrobić tak, że parabolę -t(t+1) i przeciąż prostą a, ale głupoty otrzymuję tzn. prosta a =1/4, zaznaczam obszar poniżej, i teraz patrzę gdzię się pokrywa z obszarem \(\displaystyle{ t }\), i teraz musze policzyć wartość funkcji dla arg 1, tak?i wyznaczyć część wspólną?

p.s. przepraszam, że pytam, ale Ty masz na prawdę 16 lat?
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

równanie z parametrem

Post autor: Rogal »

Twoje rozwiązanie graficzne również jest dobrym pomysłem, tylko że można się łatwiej zamotać.

PS Czemu miałby nie mieć? : )
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

równanie z parametrem

Post autor: Piotr Rutkowski »

Yyy, przepraszam, przypadkowo trochę źle zapisałem
Oczywiście:
\(\displaystyle{ t^{2}+t+a=(t+\frac{1}{2})^{2}+(a-\frac{1}{4})}\)
Transponujemy oczywiście o wektor:
\(\displaystyle{ w=[-\frac{1}{2},a-\frac{1}{4}]}\)
Żeby funkcja w ogóle mogła mieć jakieś miejsce zerowe to transpozycja w pionie musi być niedodatnia, czyli:
\(\displaystyle{ (a-\frac{1}{4}\leq 0) a\leq \frac{1}{4}}\)
Miejsce zerowe musi należeć do podanego przeze mnie przedziału.
Zauważmy zatem, że:
\(\displaystyle{ (t+\frac{1}{2})^{2}\in }\)
Zatem musi zachodzić:
\(\displaystyle{ (a-\frac{1}{4})\in a\geq -2]}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ a\in >}\)
mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

równanie z parametrem

Post autor: mateusz200414 »

dziękuję. masz jeszcze odrobinę cierpliwości? mógłbyś mi wyjaśnić skąd przedział \(\displaystyle{ }\), wcześniej o ni nie wspominałeś...

Rogal, bo jak na ucznia 1 liceum, ma astronomicznie wielką wiedzę. chociażby, ja równania z parametrem miałem w 1 kalsie dopiero w styczniu...
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

równanie z parametrem

Post autor: Piotr Rutkowski »

No bo skoro mamy sumę dwóch wyrazów, których suma ma być zero...
U nas skoro \(\displaystyle{ (t+\frac{1}{2})^{2}\in }\)
oraz \(\displaystyle{ (t+\frac{1}{2})^{2}+(a-\frac{1}{4})=0}\) to...
Awatar użytkownika
Undre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1430
Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja:
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 92 razy

równanie z parametrem

Post autor: Undre »

mateusz200414 pisze:równania z parametrem miałem w 1 kalsie dopiero w styczniu...
To nie jest wykladnik jego astronomicznej wiedzy ( choc zaiste trza przyznac ze chlopak znacznie wykracza poza poziom statystyczny swoich rowiesnikow ), tylko dowod na porazkowy poziom szkolnictwa. Sam sie wez za swoja wiedze, tez bedziesz ponad to, co dzieje sie na lekcjach w szkole
mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

równanie z parametrem

Post autor: mateusz200414 »

fakt, ze jestem na tym forum, oznacza że wziąłem się za swoją edukację.

[ Dodano: 7 Grudnia 2007, 22:42 ]
chętnie pouczę sie całek, różniczkowania, działań na licz zespolonych, jeśli jesteś chętny wykładać ;p

[ Dodano: 9 Grudnia 2007, 11:13 ]
Undre, i brak odzewu, hehe zawsze sie łatwiej mówi, niż robi
ODPOWIEDZ