witam,
prosilbym o napisanie jak mozna wyprowadzic/udowodnic twierdzenie sinusow i cosinusow.
jak wyprowadzic tw. sinusow i cosinusow?
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
jak wyprowadzic tw. sinusow i cosinusow?
Tutaj jest przypadek dowodu tw. cosinusów dla trójkątów rozwartokątnych: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4296.
Dla trójkątów ostrokątnych jest jeszcze łatwiejszy.
Jeśli chodzi o tw sinusów korzystamy ze wzoru na pole trójkąta: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab\sin\alpha}\), gdzie kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) znajduje się pomiędzy bokami a i b.
Dla trójkątów ostrokątnych jest jeszcze łatwiejszy.
Jeśli chodzi o tw sinusów korzystamy ze wzoru na pole trójkąta: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab\sin\alpha}\), gdzie kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) znajduje się pomiędzy bokami a i b.
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
jak wyprowadzic tw. sinusow i cosinusow?
Twierdzenie sinusów.
Dla trójkąta oznaczam: przy wierzchołku A leży kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a na przeciwko bok a.
Na trójkącie ABC opisujemy okrąg, kreślimy średnicę AC` i łączymy C` z B. Otrzymujemy trójkąt prostokątny ABC` w którym kąt przy C` też jest równy \(\displaystyle{ \gamma}\).
Mamy: c : ( 2R ) = sin \(\displaystyle{ \gamma}\), czyli c : sin \(\displaystyle{ \gamma}\) = 2R.
Podobnie wykazuje się pozostałe zależności.
Twierdzenie cosinusów.
W trójkącie ABC z B kreślimy wysokość h i otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne. Dwukrotnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h^{2}=c^{2}-(c *cos )^{2}}\), oraz \(\displaystyle{ h^{2}=a^{2}-(b-c *cos )^{2}}\). Rugujemy \(\displaystyle{ h^{2}}\) i otrzymujemy szukany wzór.
Dla trójkąta oznaczam: przy wierzchołku A leży kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a na przeciwko bok a.
Na trójkącie ABC opisujemy okrąg, kreślimy średnicę AC` i łączymy C` z B. Otrzymujemy trójkąt prostokątny ABC` w którym kąt przy C` też jest równy \(\displaystyle{ \gamma}\).
Mamy: c : ( 2R ) = sin \(\displaystyle{ \gamma}\), czyli c : sin \(\displaystyle{ \gamma}\) = 2R.
Podobnie wykazuje się pozostałe zależności.
Twierdzenie cosinusów.
W trójkącie ABC z B kreślimy wysokość h i otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne. Dwukrotnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h^{2}=c^{2}-(c *cos )^{2}}\), oraz \(\displaystyle{ h^{2}=a^{2}-(b-c *cos )^{2}}\). Rugujemy \(\displaystyle{ h^{2}}\) i otrzymujemy szukany wzór.
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
jak wyprowadzic tw. sinusow i cosinusow?
Dodam tylko, że w dowodzie tw. sinusów korzystamy z własności kątów wpisanych opartych na tym samym łuku.
-
DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
jak wyprowadzic tw. sinusow i cosinusow?
Ja tylko dodam jeszcze jeden sposób (w sumie to jest ich bardzo dużo - każdy sposób jest dobry ) na tw. cosinusów:
Weźmy dowolny trójkąt ABC i przyjmijmy oznaczenia: bok a na przeciwko wierzchołka A, bok b na przeciwko B i boc c na przeciwko C oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) przy A, \(\displaystyle{ \beta}\) przy B i \(\displaystyle{ \gamma}\) przy C. Ustalmy wektory \(\displaystyle{ \vec{a}\,\vec{b}\,\vec{c}}\) na bokach a, b, c w taki sposób, aby \(\displaystyle{ -\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=0\,\Leftrightarrow\,\vec{a}=\vec{b}-\vec{c}}\) Podnosimy obustronnie do kwadratu otrzymując:
\(\displaystyle{ \vec{a}^{2}=\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}-2\,\vec{b}\circ\vec{c}\,\Leftrightarrow\\|\vec{a}|^{2}=|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}-2\,|\vec{b}||\vec{c}|\,cos(\vec{b},\vec{c})\,\Leftrightarrow\\a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,bc\,cos\alpha}\)
Analogicznie dla pozostałych boków.
Weźmy dowolny trójkąt ABC i przyjmijmy oznaczenia: bok a na przeciwko wierzchołka A, bok b na przeciwko B i boc c na przeciwko C oraz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) przy A, \(\displaystyle{ \beta}\) przy B i \(\displaystyle{ \gamma}\) przy C. Ustalmy wektory \(\displaystyle{ \vec{a}\,\vec{b}\,\vec{c}}\) na bokach a, b, c w taki sposób, aby \(\displaystyle{ -\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=0\,\Leftrightarrow\,\vec{a}=\vec{b}-\vec{c}}\) Podnosimy obustronnie do kwadratu otrzymując:
\(\displaystyle{ \vec{a}^{2}=\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}-2\,\vec{b}\circ\vec{c}\,\Leftrightarrow\\|\vec{a}|^{2}=|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}-2\,|\vec{b}||\vec{c}|\,cos(\vec{b},\vec{c})\,\Leftrightarrow\\a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,bc\,cos\alpha}\)
Analogicznie dla pozostałych boków.