Zadanko z dwoma gwiazdkami. Rownanie z parametrem.

[eiffello]

Zadanko :
Dla jakich wartosci parametru m rownanie :
\(\displaystyle{ sin^{4} x-cos ^{4} x=6m-cos ^{2} 2x}\)
ma co najmniej jedno rozwiązanie ?


Ja doszedlem do :
\(\displaystyle{ cos ^{2}2x+cos2x-6m=0}\)
wtedy, jesli ma byc co najmniej 1 rozwiazanie:
//to jest delta ? //\(\displaystyle{ \nabla qslant 0}\)
Czyli :
\(\displaystyle{ m qslant - \frac{1}{24}}\)

Ale w odpowiedziach jest :
\(\displaystyle{ m }\)

skad ta \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) ????

[Dargi]

\(\displaystyle{ sin^4x-cos^4x=6m-cos^22x\iff sin^2x-cos^2x=6m-(cos^2x-sin^2x)^2\iff sin^2x-cos^2x=6m-(1-2sin^2x)^2\iff
sin^2x-1+sin^2x=6m-1+4sin^2x-4sin^4x\iff
2(2sin^4x-sin^2x-3m)=0}\)

Niech\(\displaystyle{ t=sin^2x}\)
\(\displaystyle{ 2t^2-t-3m=0}\)
Tutaj jak zrobimy deltę to wychodzi jak tobie tylko należy zaważyć że mój układ ma co najmniej 2 rozwiązania a nie jedno. Coś trzeba chyba ze wzorami Viete'a pokombinować :p

[eiffello]

Wzory Vieta. Hm.... Je mozna stosowac do znakow wynikow (dwa wyniki ujemne, tych samych znakow itp.) Ale jak zasotsować w tym przyadku - nie wiem.

Ma ktoś jakiś pomysł.

AKTUALIZACJA :

Prawie zrobilem .

z tej glownej postaci dochodze do :

\(\displaystyle{ 4cos ^{4}x-6cos^{2}+2-6m=0}\)
Czyli : \(\displaystyle{ 4t^{2}-6t+2-6m=0}\)
teraz wyliczam delte. I wychodzi ze \(\displaystyle{ m qslant - \frac{1}{24}}\)

I teraz : jako ze \(\displaystyle{ t=cos^{2}x}\), wiec \(\displaystyle{ t }\)
Uzywam wzorow Vieta : \(\displaystyle{ 0\leqslant t _{1} t_{2} qslant 1}\)

i wtedy dochodze do : \(\displaystyle{ \frac{1}{3} qslant m qslant - \frac{1}{3}}\)


Czyli niby wszystko dziala (w dzialaniu przedmowcy jest chyba jakis blad ???)
Ale :
Dlaczego jak dochodzilem do :
\(\displaystyle{ cos^{2}2x-cos2x-6m}\) [/latex]
to wtedy probujac ze wzorow Vieta nie wychodzi !

\(\displaystyle{ -1 qslant -6m\leqslant 1}\)

wychodzi \(\displaystyle{ m qslant \frac{1}{6}}\) - Co jest nie tak ?????