oblicz miary katów ostrych trójkata

[magnolia17]

W trójkącie prostokątnym stosunek sumy przyprostokątnych do przeciwprostokatnej wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).Oblicz miary kątów ostrych tego trójkąta.

[Szemek]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=\sqrt{2} c \\ a^2+b^2=c^2 \end{cases}}\)
w pierwszym równaniu podnoszę obie strony do kwadratu, a drugie mnożę przez (-2)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+2ab+b^2=2c^2 \\ -2a^2-2b^2=-2c^2 \end{cases}}\)
dodaję oba równania stronami
\(\displaystyle{ \begin{cases} -a^2+2ab-b^2=0 \\ -2a^2-2b^2=-2c^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2-2ab+b^2=0 \\ -2a^2-2b^2=-2c^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (a-b)^2=0 \\ -2a^2-2b^2=-2c^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ a=b}\)
Kąty ostre mają po \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\), ponieważ trójkąt prostokątny jest także trójkątem równoramiennym.

[Marcinow]

Otóż... Niech przyprostokątne: a i b, przeciwprostokątna: c.

Z danych zadania:

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{ \sqrt{2} } =c}\) (1)


Z tw. Pitagorasa

\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}}\)

z (1) wyznacz \(\displaystyle{ c ^{2}}\) przyrównaj do równości z tw Pitagorasa, jak to uporządkujesz wyjdzie, że:
\(\displaystyle{ (a-b) ^{2} =0}\), więc a=b. Jeśli przyprostokątne trójkąta prostokątnego są równe to kąty ostre tego trójkąta są równe pi/4.

[edit]ech, spóźniłem się