Wyznacz dziedzinę funkcji

[okropek]

Wyznacz dziedzinę funkcji f(x)= \(\displaystyle{ \frac{x}{\sin x - \cos 3x}}\) -\(\displaystyle{ \tan x}\)

Z góry dzięki za pomoc w wyznaczeniu

[matekleliczek]

\(\displaystyle{ sinx-cos3x\neq0 x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \; \; k\inC}\)


można skorzystać ze wzoru na cos 3 jak się go nie zna to:

1.
\(\displaystyle{ sinx-cos3x\neq0}\)
\(\displaystyle{ sinx-cos(2x+x)\= 0}\)
\(\displaystyle{ sinx-[cos2xcosx-sin2x sinx]\= 0}\)
\(\displaystyle{ sinx-[cos^3x-sin^2x cosx-2sin^2xcosx]=0}\)
\(\displaystyle{ sinx-[cos^3x-3sin^2xc osx]=0}\)
\(\displaystyle{ sinx-[cos^3x-3cosx+3cos^2x cosx]= 0}\)
\(\displaystyle{ sinx-[4cos^3x-3cosx]= 0}\)
\(\displaystyle{ sinx-4cos^3x+3cosx = 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-cos^2x}-4cos^3x+3cosx = 0}\)
\(\displaystyle{ cosx=t t\in}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-t^2}-4t^3+3t= 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-t^2}=4t^3-3t}\)
\(\displaystyle{ 1-t^2=16t^6-24t^4+9t^2}\)
\(\displaystyle{ t^2=y y qslant 0}\)
\(\displaystyle{ 16y^3-24y^2+10y-1=0}\)
\(\displaystyle{ (y-0,5)(16y^2-16y +2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=0,5}\) lub \(\displaystyle{ 8y^2-8y +1=0}\)
\(\displaystyle{ y=0,5}\) lub \(\displaystyle{ \Delta=64-32=32}\)
\(\displaystyle{ 0,5=t^2}\) lub \(\displaystyle{ y=\frac{8-4\sqrt{2}}{16} y=\frac{8+4\sqrt{2}}{16}}\)

jak się wyliczy "t" to potem trzeba sprawdzic czy zachodzi \(\displaystyle{ \sqrt{1-t^2}=4t^3-3t}\)
dalej mi się nie chce możliwe, że robie dookoła ogródka

[okropek]

Tutaj coś nie chce się zgadzać ale kumpel odkrył że można zrobić tak:
\(\displaystyle{ \cos (90-x)\neq \cos 3x}\)
z czego:
\(\displaystyle{ 90-x\neq3x}\)
\(\displaystyle{ 4x\neq90}\)
\(\displaystyle{ x\neq22,5 + 2k\pi (okres cosinusa)}\)

I czy to jest dobrze ?

[matekleliczek]

ale ja jestem głupi

\(\displaystyle{ sinx-cos3x=0}\)
\(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{2}-x)-cos3x=0}\)


korzystam ze wzoru na róznice cosinusów \(\displaystyle{ cosx-cosy=-2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})}\)



\(\displaystyle{ -2sin(\frac{\pi}{4}+x)sin(\frac{ (\pi}{4}-2x)=0}\)

\(\displaystyle{ sin(\frac{ \pi}{4}-2x)=0 -2sin(\frac{\pi}{4}+x)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi}{4}-2x =k\pi \frac{\pi}{4}+x=k\pi}\)
\(\displaystyle{ -2x=-\frac{ \pi}{4}+k\pi x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{ \pi}{8}+\frac{k\pi}{2} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) \(\displaystyle{ \wedge k\in C}\)



czyli dziedzina to \(\displaystyle{ D: x\inR \backslash \{ -\frac{\pi}{4}+k\pi , \frac{ \pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\frac{\pi}{2}+k\pi \} \; \; \; \; k\in C}\)