\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cdot \cos x +\sin x =1}\)
[Edit: olazola] Pisz regulaminowe tematy.
Rozwiąż równanie trygonometryczne
- kotek1591
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 18 lut 2005, o 14:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
Rozwiąż równanie trygonometryczne
Ostatnio zmieniony 7 gru 2014, o 21:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Rozwiąż równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ 3\cos^2{x}=1-2\sin{x}+\sin^2{x}}\)
\(\displaystyle{ 3-3\sin^2{x}-1+2\sin{x}-\sin^2{x}=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin^2{x}-\sin{x}-1=0}\)
Następnie ustalamy takie t, że \(\displaystyle{ t=\sin{x}}\) i mamy równanie:
\(\displaystyle{ 2t^2-t-1=0}\)
Znajdujesz t, dalej powinnaś sobie poradzić ...
\(\displaystyle{ 3-3\sin^2{x}-1+2\sin{x}-\sin^2{x}=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin^2{x}-\sin{x}-1=0}\)
Następnie ustalamy takie t, że \(\displaystyle{ t=\sin{x}}\) i mamy równanie:
\(\displaystyle{ 2t^2-t-1=0}\)
Znajdujesz t, dalej powinnaś sobie poradzić ...
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Rozwiąż równanie trygonometryczne
wystarczy podzielic przez 2 obustronnie, zauwazyc ze \(\displaystyle{ {\sqrt{3} \over 2}}\) i \(\displaystyle{ {1 \over 2}}\) sa odpowiednio sinusem i cosinusem pewnego kata, a potem zauwazyc tam wzor na sinus sumy \(\displaystyle{ x}\) i tego kata. dalej juz elementarnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 17 lut 2014, o 18:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Rozwiąż równanie trygonometryczne
Wybaczcie za odkop, ale chyba nie ma sensu zakładać nowego tematu, ten jest co prawda archiwalny, ale matematyka wciąż ta sama.
Mógłby ktoś powiedzieć mi jakie założenia powinniśmy przyjąć przy potęgowaniu obustronnie gdy mamy sinusy/cosinusy? Tak jak to zrobił Zlodiej.
Mógłby ktoś powiedzieć mi jakie założenia powinniśmy przyjąć przy potęgowaniu obustronnie gdy mamy sinusy/cosinusy? Tak jak to zrobił Zlodiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Rozwiąż równanie trygonometryczne
Jeśli jest to równanie, to żadnych założeń nie trzeba przyjmować, bolobuzp pisze:Wybaczcie za odkop, ale chyba nie ma sensu zakładać nowego tematu, ten jest co prawda archiwalny, ale matematyka wciąż ta sama. [...]
Mógłby ktoś powiedzieć mi jakie założenia powinniśmy przyjąć przy potęgowaniu obustronnie gdy mamy sinusy/cosinusy? Tak jak to zrobił Zlodiej.
\(\displaystyle{ a=b \Rightarrow a^k=b^k}\)
Jeśli jest to nierówność, to musisz uważać na znaki. Najprostszy przykład:
Weźmy dwie oczywiste nierówności i podnieśmy stronami do kwadratu
\(\displaystyle{ 4<5 \Rightarrow 4^2<5^2}\)
\(\displaystyle{ -4<3 \Rightarrow (-4)^2>3^2}\)
Jeżeli więc masz po lewej i prawej stroniei funkcje trygonometryczne, to przy podnoszeniu do potęgi o wykładniku parzystym odpowiednio zmieniasz znaki nierówności.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 6 mar 2016, o 16:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
Rozwiąż równanie trygonometryczne
Mimo dotychczasowych odpowiedzi wciąż mam problem z powyższym przykładem. Może ktoś mi pomoże rozwiać moje wątpliwości. Przede wszystkim nie zgadzam się z tym, że podnoszenie do kwadratu obydwu stron równania nie wymaga dodatkowych warunków. Np. gdybym miał równanie \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) to jest to równoważne \(\displaystyle{ \tg x=1}\). Jednak po podniesieniu pierwszej równości do kwadratu otrzymam \(\displaystyle{ \sin ^2x=\cos ^2x}\) czyli \(\displaystyle{ \tg ^2x=1}\) czyli \(\displaystyle{ \tg x=1}\) lub \(\displaystyle{ \tg x=-1}\). Jak zapobiec tej sytuacji? Nagle pojawią się dodatkowe rozwiązania, których nie ma w pierwszej równości. Jakiego warunku powinienem tutaj użyć, aby umiejętnie wyeliminować rozwiązania, które nie spełniają pierwszej równości? W bardziej skomplikowanym przykładzie nie będzie to takie oczywiste.
Co do bardziej skomplikowanego przykładu postanowiłem pociągnąć dalej rozumowanie Zlodzieja. Oto co mi wyszło:
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ t_1=-0,5=\sin x}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ t_2=1=\sin x}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
Niestety odpowiedzi w książce to: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\)
Gdzie jest błąd? Co warto zaznaczyć - poprawne odpowiedzi wychodzą przy użyciu sposobu podanego przez g (mowa o wzorze na sinus sumy kątów).
Co do bardziej skomplikowanego przykładu postanowiłem pociągnąć dalej rozumowanie Zlodzieja. Oto co mi wyszło:
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ t_1=-0,5=\sin x}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ t_2=1=\sin x}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
Niestety odpowiedzi w książce to: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\)
Gdzie jest błąd? Co warto zaznaczyć - poprawne odpowiedzi wychodzą przy użyciu sposobu podanego przez g (mowa o wzorze na sinus sumy kątów).
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2017, o 17:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Administrator
- Posty: 34128
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Rozwiąż równanie trygonometryczne
Ależ oczywiście, bezrefleksyjnie do kwadratu nie można podnosić, argument Dilectusa nie jest dobry. Podnoszenie refleksyjne polega na tym, że zdajemy sobie sprawę z tego, że mogą pojawić się "obce" pierwiastki, więc na końcu sprawdzamy, które z otrzymanych rozwiązań istotnie nimi są. Nazywa się to analizą starożytnych.HiddenTesseract pisze:Mimo dotychczasowych odpowiedzi wciąż mam problem z powyższym przykładem. Może ktoś mi pomoże rozwiać moje wątpliwości. Przede wszystkim nie zgadzam się z tym, że podnoszenie do kwadratu obydwu stron równania nie wymaga dodatkowych warunków. Np. gdybym miał równanie \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) to jest to równoważne \(\displaystyle{ \tg x=1}\). Jednak po podniesieniu pierwszej równości do kwadratu otrzymam \(\displaystyle{ \sin ^2x=\cos ^2x}\) czyli \(\displaystyle{ \tg ^2x=1}\) czyli \(\displaystyle{ \tg x=1}\) lub \(\displaystyle{ \tg x=-1}\). Jak zapobiec tej sytuacji? Nagle pojawią się dodatkowe rozwiązania, których nie ma w pierwszej równości. Jakiego warunku powinienem tutaj użyć, aby umiejętnie wyeliminować rozwiązania, które nie spełniają pierwszej równości? W bardziej skomplikowanym przykładzie nie będzie to takie oczywiste.
Nie ma błędu, masz po prostu obce pierwiastki, które są skutkiem podnoszenia do kwadratu. Podstaw \(\displaystyle{ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\) do wyjściowego równania i sprawdź, co wyjdzie.HiddenTesseract pisze:Co do bardziej skomplikowanego przykładu postanowiłem pociągnąć dalej rozumowanie Zlodzieja. Oto co mi wyszło:
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ t_1=-0,5=\sin x}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ t_2=1=\sin x}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)
Niestety odpowiedzi w książce to: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\)
Gdzie jest błąd? Co warto zaznaczyć - poprawne odpowiedzi wychodzą przy użyciu sposobu podanego przez g (mowa o wzorze na sinus sumy kątów).
JK