Rozwiąż równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
kotek1591
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 18 lut 2005, o 14:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: kotek1591 »

\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cdot \cos x +\sin x =1}\)

[Edit: olazola] Pisz regulaminowe tematy.
Ostatnio zmieniony 7 gru 2014, o 21:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Zlodiej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1910
Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 108 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: Zlodiej »

\(\displaystyle{ 3\cos^2{x}=1-2\sin{x}+\sin^2{x}}\)

\(\displaystyle{ 3-3\sin^2{x}-1+2\sin{x}-\sin^2{x}=0}\)

\(\displaystyle{ 2\sin^2{x}-\sin{x}-1=0}\)

Następnie ustalamy takie t, że \(\displaystyle{ t=\sin{x}}\) i mamy równanie:

\(\displaystyle{ 2t^2-t-1=0}\)

Znajdujesz t, dalej powinnaś sobie poradzić ...
Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: g »

wystarczy podzielic przez 2 obustronnie, zauwazyc ze \(\displaystyle{ {\sqrt{3} \over 2}}\) i \(\displaystyle{ {1 \over 2}}\) sa odpowiednio sinusem i cosinusem pewnego kata, a potem zauwazyc tam wzor na sinus sumy \(\displaystyle{ x}\) i tego kata. dalej juz elementarnie.
lobuzp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 17 lut 2014, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: lobuzp »

Wybaczcie za odkop, ale chyba nie ma sensu zakładać nowego tematu, ten jest co prawda archiwalny, ale matematyka wciąż ta sama.
Mógłby ktoś powiedzieć mi jakie założenia powinniśmy przyjąć przy potęgowaniu obustronnie gdy mamy sinusy/cosinusy? Tak jak to zrobił Zlodiej.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: Dilectus »

lobuzp pisze:Wybaczcie za odkop, ale chyba nie ma sensu zakładać nowego tematu, ten jest co prawda archiwalny, ale matematyka wciąż ta sama. [...]
Mógłby ktoś powiedzieć mi jakie założenia powinniśmy przyjąć przy potęgowaniu obustronnie gdy mamy sinusy/cosinusy? Tak jak to zrobił Zlodiej.
Jeśli jest to równanie, to żadnych założeń nie trzeba przyjmować, bo

\(\displaystyle{ a=b \Rightarrow a^k=b^k}\)

Jeśli jest to nierówność, to musisz uważać na znaki. Najprostszy przykład:

Weźmy dwie oczywiste nierówności i podnieśmy stronami do kwadratu

\(\displaystyle{ 4<5 \Rightarrow 4^2<5^2}\)

\(\displaystyle{ -4<3 \Rightarrow (-4)^2>3^2}\)

Jeżeli więc masz po lewej i prawej stroniei funkcje trygonometryczne, to przy podnoszeniu do potęgi o wykładniku parzystym odpowiednio zmieniasz znaki nierówności.
HiddenTesseract
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 mar 2016, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: HiddenTesseract »

Mimo dotychczasowych odpowiedzi wciąż mam problem z powyższym przykładem. Może ktoś mi pomoże rozwiać moje wątpliwości. Przede wszystkim nie zgadzam się z tym, że podnoszenie do kwadratu obydwu stron równania nie wymaga dodatkowych warunków. Np. gdybym miał równanie \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) to jest to równoważne \(\displaystyle{ \tg x=1}\). Jednak po podniesieniu pierwszej równości do kwadratu otrzymam \(\displaystyle{ \sin ^2x=\cos ^2x}\) czyli \(\displaystyle{ \tg ^2x=1}\) czyli \(\displaystyle{ \tg x=1}\) lub \(\displaystyle{ \tg x=-1}\). Jak zapobiec tej sytuacji? Nagle pojawią się dodatkowe rozwiązania, których nie ma w pierwszej równości. Jakiego warunku powinienem tutaj użyć, aby umiejętnie wyeliminować rozwiązania, które nie spełniają pierwszej równości? W bardziej skomplikowanym przykładzie nie będzie to takie oczywiste.

Co do bardziej skomplikowanego przykładu postanowiłem pociągnąć dalej rozumowanie Zlodzieja. Oto co mi wyszło:
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ t_1=-0,5=\sin x}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ t_2=1=\sin x}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)

Niestety odpowiedzi w książce to: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\)
Gdzie jest błąd? Co warto zaznaczyć - poprawne odpowiedzi wychodzą przy użyciu sposobu podanego przez g (mowa o wzorze na sinus sumy kątów).
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2017, o 17:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski »

HiddenTesseract pisze:Mimo dotychczasowych odpowiedzi wciąż mam problem z powyższym przykładem. Może ktoś mi pomoże rozwiać moje wątpliwości. Przede wszystkim nie zgadzam się z tym, że podnoszenie do kwadratu obydwu stron równania nie wymaga dodatkowych warunków. Np. gdybym miał równanie \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) to jest to równoważne \(\displaystyle{ \tg x=1}\). Jednak po podniesieniu pierwszej równości do kwadratu otrzymam \(\displaystyle{ \sin ^2x=\cos ^2x}\) czyli \(\displaystyle{ \tg ^2x=1}\) czyli \(\displaystyle{ \tg x=1}\) lub \(\displaystyle{ \tg x=-1}\). Jak zapobiec tej sytuacji? Nagle pojawią się dodatkowe rozwiązania, których nie ma w pierwszej równości. Jakiego warunku powinienem tutaj użyć, aby umiejętnie wyeliminować rozwiązania, które nie spełniają pierwszej równości? W bardziej skomplikowanym przykładzie nie będzie to takie oczywiste.
Ależ oczywiście, bezrefleksyjnie do kwadratu nie można podnosić, argument Dilectusa nie jest dobry. Podnoszenie refleksyjne polega na tym, że zdajemy sobie sprawę z tego, że mogą pojawić się "obce" pierwiastki, więc na końcu sprawdzamy, które z otrzymanych rozwiązań istotnie nimi są. Nazywa się to analizą starożytnych.
HiddenTesseract pisze:Co do bardziej skomplikowanego przykładu postanowiłem pociągnąć dalej rozumowanie Zlodzieja. Oto co mi wyszło:
\(\displaystyle{ \Delta=9}\)
\(\displaystyle{ t_1=-0,5=\sin x}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ t_2=1=\sin x}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)

Niestety odpowiedzi w książce to: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi}\)
Gdzie jest błąd? Co warto zaznaczyć - poprawne odpowiedzi wychodzą przy użyciu sposobu podanego przez g (mowa o wzorze na sinus sumy kątów).
Nie ma błędu, masz po prostu obce pierwiastki, które są skutkiem podnoszenia do kwadratu. Podstaw \(\displaystyle{ x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\) do wyjściowego równania i sprawdź, co wyjdzie.

JK
ODPOWIEDZ