Wykaż, że podana równość jest prawdziwa

[Impreshia]

Wiadomo, że \(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} i (0;\frac{\Pi}{2} )}\), oraz że \(\displaystyle{ cos\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}\ i\ \beta (0;\frac{\Pi}{2})}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac{\Pi}{4}}\)


Zupełnie nie wiem jak to ruszyć. Prosze o okazanie serca...

[minus]

No wlaśnie... To chyba jest niewykonalne.
Zadanie jest dobrze przepisane ?

[g]

policz wartosci \(\displaystyle{ \cos }\) i \(\displaystyle{ \sin \beta}\)
masz \(\displaystyle{ \sin {\pi \over 4} = \sin (\alpha + \beta)}\) - rozpisz obie strony
wstaw wartosci dane i policzone. ma sie zgadzac.

[minus]

A nie lepiej dodać kwasraty tych wartości, wszakże cos(90-x)=sin(x)
ale wtedy sie nie zgadza
a to co proponuje g to walenie z armaty do komara

[g]

sorry ale ja tu czegos nie rozumiem. z jednej strony mowisz ze twoim sposobem nie wychodzi (chociaz go za bardzo nie kapuje, mozesz pokazac?) i mimo ze z mojego pewnie wyjdzie, ty twierdzisz ze twoj sposob jest dobry a moj zly (czy tez brzydki)?

[Rogal]

Walenie z armaty do komara w tym przypadku, to byłoby rozwiązywanie równań sześciennych. To co zaproponował g, to raczej najprostsza i najszybsza droga - w końcu to jest klasa maturalna i tam takie związki nie są już nikomu obce.

[minus]

eeee
chcialem powiedzieć że nikak nie da się wykazać owej tezy, ani Twoją metodą ani moją, ponieważ nie odchodzi ona przy owych zalożeniach. Po prostu proponuję byś spróbowal wyliczyć (chociażby swoją metodą) to zadanie. Wtedy pewnie stwierdzisz, że rzeczywiście coś jest nie tak. Proszę tylko byś za bardzo nie zaokrąglal tych niewymiernych wyników, bo jeszcze Ci wyjdzie w granicach blędu.

[...]dodatkowo wyrazilem swoje zdziwienie wywolane użyciem przez Ciebie, jak to może niefortunnie nazwalem, strzelaniem z armaty do komara, metody, w której wyliczamy niepotrzebnie kąty, co oczywiście nie jest naszym celem. Naturalnie można je wyliczyć, ale chyba bez większego sensu.

[Rogal]

Dobra, liczymy.

Wszystkie kąty są z pierwszej ćwiartki, więc jeżeli:

\(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}}\)
To cosinusa liczymy z jedynki:
\(\displaystyle{ \cos\alpha = \sqrt{1-\frac{1}{5}} \\ \cos\alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}}\)

To samo dla kąta beta:

\(\displaystyle{ \cos\beta = \frac{3\sqrt{10}}{10} \\ \sin\beta = \sqrt{1-cos^{2}\beta} \\ \sin\beta = \sqrt{1-\frac{9}{10}} \\ \sin\beta=\sqrt{\frac{1}{10}} \\ \sin\beta = \frac{\sqrt{10}}{10}}\)

Teraz korzystamy ze wzoru na sinus sumy:

\(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cos\beta + \sin\beta \cos\alpha \\ \sin(\alpha+\beta) = \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{3\sqrt{10}}{10} + \frac{\sqrt{10}}{10} \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{3\sqrt{50}}{50} + \frac{2\sqrt{50}}{50} = \frac{5\sqrt{50}}{50} = \frac{25\sqrt{2}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

A niewątpliwie \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}}\), więc \(\displaystyle{ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4}}\) c.b.d.o.

[ Dodano: Sro Mar 23, 2005 10:58 am ]
A teraz prosiłbym o alternatywną metodę, bez "niepotrzebnego wyliczania kątów".

[minus]

Grrrr,
ano zwracam honor, oczywiście jest to rozwiązanie poprawne.

Na swoje usprawiedliwienie przyznam, że nie przyjżalem sie dokladnie zadaniu a dokladnie źle przeczytalem dane. Myślalem, że w danych wejściowych pojawia się dwukrotine sinus, a to oczywiście prowadzi do blędnych wyników....

[rObO87]

A niewątpliwie \(\displaystyle{ sinfrac{pi}{4} = frac{sqrt{2}}{2}}\), więc \(\displaystyle{ alpha + eta = frac{pi}{4}}\) c.b.d.o.

a z kąd to wiadomo?

[Rogal]

Z kątowni. A konkretniej z kwadratu.

[Impreshia]

SERDECZNE DZIĘKI!!!