równanie logarytmiczno trygonometryczne

[matekleliczek]

jak to rozwiazać??

\(\displaystyle{ sin(\pi \cdot logx)+cos(\pi \cdot logx)=1}\)

ja to robiłem tak

D: x>0

\(\displaystyle{ (\pi logx)=t}\)

\(\displaystyle{ [sin(t)+cos(t)]^2=1^2}\)
\(\displaystyle{ 2sin(t)cos(t)=0}\)
\(\displaystyle{ sin(2t)=0}\)
\(\displaystyle{ 2t=k\pi \; k\in C}\)
\(\displaystyle{ \pi logx=\frac{k\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ logx=\frac{k}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=10^{\frac{k}{2}}}\)

ale wychodząc od tego inaczej
\(\displaystyle{ 2sin(t)cos(t)=0}\)
\(\displaystyle{ sin t=0 \; lub \; cos t=0}\)
\(\displaystyle{ t=k\pi \; lub \; t=\frac{\pi}{2} +2k\pi}\)
\(\displaystyle{ logx=k \; lub \; logx=0,5 +2k}\)
\(\displaystyle{ x=10^{k} \; lub \; x=10^{\frac{1}{2}+2k}}\)

zaś w książce jest odpowiedź\(\displaystyle{ x=^{2k}}\) lub\(\displaystyle{ x=10^{\frac{1}{2}+2k}}\)

[Sylwek]

\(\displaystyle{ [sin(t)+cos(t)]^2=1^2}\)

Czy mogę zrobić tak:
\(\displaystyle{ x=-1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow (x=1 \vee x=-1)}\) ?

Jak widzisz, raczej nie . Nie poczyniłeś założeń co do znaku lewej strony a podniosłeś równanie obustronnie do kwadratu - OK, można, tylko potem należy sprawdzić poprawność rozwiązań wyjściowych. A mianowicie wychodzi:
\(\displaystyle{ \pi \cdot \log x=\frac{k \pi}{2}}\)

I teraz w zależności od k masz:
\(\displaystyle{ \sin t = 0 \wedge \cos t=1 \\ \sin t=1 \wedge \cos t=0 \\ \sin t=0 \wedge \cos t=-1 \\ \sin t=-1 \wedge \cos t=0}\)

Dwa ostatnie przypadki nie spełniają równania wyjściowego - wnioski wyciągnij sam . A poza tym co do drugiego 'sposobu', masz tam błąd, powinno być (bo musi wyjść to samo przecież):
\(\displaystyle{ \cos t=0 \iff t=\frac{\pi}{2}+k \pi}\)

[matekleliczek]

ale jest głupi faktycznie podnosząc do kwadratu powstają fałszywe pierwiastki.

a tam tam dalej też się walnąłem oki dzięki

[Lorek]

Bo trzeba było skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \cos f(x)+\sin f(x)=\sqrt{2}\cos ft(\frac{\pi}{4}-f(x)\right )}\) a nie kombinować

[matekleliczek]

Bo trzeba było skorzystać ze wzoru\(\displaystyle{ \cos f(x)+\sin f(x)=\sqrt{2}\cos ft(\frac{\pi}{4}-f(x)\right )}\) a nie kombinować

teraz to i ja to wiem bo właśnie tak zrobiłem też