Przedstaw wyrażenie w postaci iloczynu

[chris_stargard]

a) \(\displaystyle{ 1 +}\) \(\displaystyle{ \cos }\) \(\displaystyle{ + \cos \frac{\alpha}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ 1 +}\) \(\displaystyle{ \sin }\) \(\displaystyle{ +}\) \(\displaystyle{ \cos + \tan }\)
c) \(\displaystyle{ \cos + \sin 2 - \cos 3 }\)

w a) zamieniłem 1 na \(\displaystyle{ 2 \cos \frac{\pi}{3}}\) i zastosowałem do reszty wzór na sumę sinusów i nie wiem co dalej:(

[Sir George]

Pytanie pierwsze: w postaci iloczynu czego, tj. jakich czynników?


Osobiście proponuję:

w a) najlepiej zamienić \(\displaystyle{ \cos\alpha\, =\, 2\cos^2\frac\alpha2-1}\)

w b) \(\displaystyle{ \sin\alpha\, =\, {\tan\alpha}\cdot{\cos\alpha}}\)

w c) \(\displaystyle{ \sin2\alpha\,=\, 2\cos\alpha\sin\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \cos3\alpha\,=\,\cos^3\alpha-3\cos\alpha\sin^2\alpha}\)

[chris_stargard]

w postaci iloczynu funkcji trygonometrycznych, zaraz sprawdzę Twoje rady, za które już z góry dziękuje:)

edit:
niestety coś nie wychodzi:/

w a)powinno być \(\displaystyle{ 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos ( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{4}) \cos (\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{4})}\)
w b) \(\displaystyle{ 2 \sqrt {2} \cos^{2} \frac{\alpha}{2} \cos (\frac{\pi}{4} - ) \frac{1}{\cos }}\)
w c) \(\displaystyle{ 4 \sin 2 \sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}) \ cos (\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2})}\)

znam tylko wzory na funkcje sumy, różnicy kątów, podwojonego, potrojonego i sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

edit:
w a) mi juz wyszło, wystarczyło podstawić za \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) to co napisałeś, następnie wyciągnąć przed nawias \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha}{2}}\) a już reszta z górki;)

teraz męczę się z b) i nie wychodzi

w c) należy zastosować wzór na różnicę cosinusów i wszystko ładnie wychodzi:) bez żadnych kwadratów:)

więc pozostaje tylko b) jak ktoś ma jakiś pomysł niech napisze;)

[Sir George]

Ad. b)
\(\displaystyle{ 1+\sin\alpha+\cos\alpha+\tan\alpha\ =\ 1+\cos\alpha\tan\alpha+\cos\alpha+\tan\alpha\ \\ \ \\ \qquad\qquad =\ (1+\cos\alpha)(1+\tan\alpha)\ \\ \ \\ \qquad\qquad =\ 2\cos^2\frac{\alpha}{2}\,\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha}\ \\ \ \\ \qquad\qquad =\ 2\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}\, \sqrt{2}(\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}+\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4})\ \\ \ \\ \qquad\qquad =\ 2\sqrt{2}\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2} \cos\big(\alpha-\frac{\pi}{4}\big)}{\cos\alpha}\,}\)

[hubert632]

Mogłby ktoś wytłumaczyć podpunkt b. szczególnie 4 linijkę wypowiedzi "Sir George". Dla mnie to jest kosmos. Jest na to jakiś sposób, czy trzeba poprostu mieć łeb jak sklep?

[Sir George]

Mogłby ktoś wytłumaczyć podpunkt b. szczególnie 4 linijkę wypowiedzi "Sir George"

Czy chodzi Ci o przekształcenie \(\displaystyle{ \cos\alpha+\sin\alpha}\) na iloczyn?

Cóż, albo stosuje się wzór, który gdzieś się znalazło, albo się go wyprowadza. Ja zasugerowałem, by doprowadzić owo wyrażenie do kosinusa różnicy kątów...

Pozdrawiam

[Falaris]

w a) najlepiej zamienić \(\displaystyle{ \cos\alpha\, =\, 2\cos^2\frac\alpha2-1}\)

można wiedzieć skąd się to wzięło ?

[mikolajr]

\(\displaystyle{ cos\alpha + 1 \, = \, cos\alpha + cos0^{\circ} = 2cos\frac{\alpha}{2} cos\frac{\alpha}{2}= \, 2cos^2\frac{\alpha}{2}}\)

myślę że oto chodziło

[Falaris]

nie już wiem o co chodzi
\(\displaystyle{ \cos\alpha\, =\, \cos2\frac\alpha2}\) bo to jest to samo
i teraz ze wzoru na \(\displaystyle{ \cos 2\alpha\, = 2\cos^2\alpha-1}\)
a pod \(\displaystyle{ \alpha}\) podstawiamy \(\displaystyle{ \frac\alpha2}\)
i wychodzi nam \(\displaystyle{ \cos\alpha\, =\, 2\cos^2\frac\alpha2-1}\) xD