Uprość wyrażenie 1/2 + cosx + cos 2x + ... + cosnx

[bluk]

Mam prośbe, mam takie wyrażenie:

\(\displaystyle{ W=\frac{1}{2}+\cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}+...+\cos{nx}}\), gdzie k=1,2,3,4...

Znalazlem wynik gdzieś w necie, ale nie wiem jak dojśc do tego.
Wynik to:

\(\displaystyle{ \large\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})x}}{2\sin{\frac{x}{2}}}}\)

Nie wiem czy to dobrze bo to była jakaś japońska strona
Proszę o pomoc lub wskazówkę jak to uproscić.
Probówałem rozpisywać cos2x, cos3x itd., ale nie zauważyłem zależności.

[g]

dodaj do tego \(\displaystyle{ i}\) pomnozone przez analogiczna sume sinusow. skorzystaj ze wzoru Eulera, a potem de Moivre'a - do zsumowania bedzie tylko ciag geometryczny, na konczu trzeba bedzie wziac czesc rzeczywista.

[bluk]

hmm a nie da sie tego zrobic inaczej ? nie na liczbach zespolonych ? moja wiedza nie jest tak rozlegla bo ile mnie pamiec nie myli to wzor de Moivre'a to chyba dotyczy liczb zespolonych[/code]

[ Dodano: Pon Mar 21, 2005 7:57 pm ]
eee to proste jest wystarczy pomnozyc razy 2sin(x/2) i pozniej skorzystac ze zwiazku 2sinxcosy=sin(x+y)+sin(x-y) a pozniej z tego ze sin(-x)=-sin(x) i sie wszystko redukuje i zostaje jeden wyraz ktory trzeba podzielic przez 2sin(x/2) (bo pomnozylismy przez to wczesniej )
eh siedzielem tyle az zrobilem