Znajdź okres funkcji trygonometrycznej
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Znajdź okres funkcji trygonometrycznej
\(\displaystyle{ f(x) = (\sin(x))^2 \cdot \cos(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(x)\cdot \sin(x)\cdot \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(x)\cdot \sin(2x). }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Znajdź okres funkcji trygonometrycznej
Treścią zadania nie jest sprawdzić czy liczba \(\displaystyle{ \pi }\) jest okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ f }\) tylko z definicji okresu podstawowego funkcji okresowej, należy tą liczbę znaleźć.
Z postaci iloczynowej sinusa argumentu \(\displaystyle{ x }\) i sinusa podwojonego argumentu \(\displaystyle{ 2x, \ \ T_{0} = \pi }\) znajdujemy natychmiast.
Z postaci iloczynowej sinusa argumentu \(\displaystyle{ x }\) i sinusa podwojonego argumentu \(\displaystyle{ 2x, \ \ T_{0} = \pi }\) znajdujemy natychmiast.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Znajdź okres funkcji trygonometrycznej
Poczułem się słusznie skarcony, bo co ja tu za bzdury piszę i zadania nie rozumiem. I pewnie jak zwykle masz rację, ale ja dałem tylko wskazówkę, która miała autora posta naprowadzić na właściwy trop... Chciałem po prostu, żeby autor zauważył, że `\pi` NIE jest okresem tej funkcji. Ale skoro Ty twierdzisz inaczej...janusz47 pisze: ↑25 lut 2022, o 23:16 Treścią zadania nie jest sprawdzić czy liczba \(\displaystyle{ \pi }\) jest okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ f }\) tylko z definicji okresu podstawowego funkcji okresowej, należy tą liczbę znaleźć.
Z postaci iloczynowej sinusa argumentu \(\displaystyle{ x }\) i sinusa podwojonego argumentu \(\displaystyle{ 2x, \ \ T_{0} = \pi }\) znajdujemy natychmiast.
A tak naprawdę, to Ty nie masz racji: `f(x+\pi)=\sin^2(x+\pi)\cos(x+\pi)=-\sin^2(x)\cos(x)=-f(x)`
Z postaci iloczynowej trudno wywnioskować cokolwiek o okresie iloczynu, co widać z poniższych przykładów:
1) Funkcja sinus ma okres `2\pi`, a jej kwadrat `\pi`.
2) Okresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 & x\in[2n,2n+1)\\-1 & x\in [2n+1,2n+2)\end{cases}}\) jest liczba `2`, a okresem jej kwadratu jest każda liczba rzeczywista.
3) Zarówno `\sin x` jak i `\sin \pi x` są okresowe, a ich iloczyn nie jest.
Druga wskazówka: policz maksima lokalne tej funkcji.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Znajdź okres funkcji trygonometrycznej
Masz rację, iloczyn funkcji okresowych nie musi być funkcją okresową. W tym zadaniu pierwotna postać iloczynu funkcji okresowych jak i przeksztacona postać iloczynu funkcji okresowych są funkcjami okresowymi. Gdyby nie były - nie mielibyśmy zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Znajdź okres funkcji trygonometrycznej
Ten komentarz nic nie wnosi do rozwiązania zadania, a ponadto buduje błędne przekonanie, że iloczyn funkcji nieokresowych nie może być okresowy.
To oczywiście nie jest prawdą, o czym przekonuje taki przykład: `f(x)=e^x\sin x, g(x)=e^{-x}`.
Dodano po 2 godzinach 3 minutach 55 sekundach:
Chyba najprostsza wskazówka: popatrz na znak funkcji w przedziałach `(-\pi/2.\pi/2)` i `(\pi/2,3\pi/2)`