Znajdź okres funkcji trygonometrycznej

[Bitinful]

Proszę o pomoc w znalezieniu okresu funkcji

\(\displaystyle{ f(x) = (\sin x)^2\cos x}\).

[a4karo]

Sprawdź czy `\pi` może być jej okresem.

[janusz47]

\(\displaystyle{ f(x) = (\sin(x))^2 \cdot \cos(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(x)\cdot \sin(x)\cdot \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(x)\cdot \sin(2x). }\)

[a4karo]

`f(x)=\cos(x)-\cos^3(x)`. Tylko co to wnosi do zadania?

[janusz47]

Treścią zadania nie jest sprawdzić czy liczba \(\displaystyle{ \pi }\) jest okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ f }\) tylko z definicji okresu podstawowego funkcji okresowej, należy tą liczbę znaleźć.

Z postaci iloczynowej sinusa argumentu \(\displaystyle{ x }\) i sinusa podwojonego argumentu \(\displaystyle{ 2x, \ \ T_{0} = \pi }\) znajdujemy natychmiast.

[a4karo]

Treścią zadania nie jest sprawdzić czy liczba \(\displaystyle{ \pi }\) jest okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ f }\) tylko z definicji okresu podstawowego funkcji okresowej, należy tą liczbę znaleźć.

Z postaci iloczynowej sinusa argumentu \(\displaystyle{ x }\) i sinusa podwojonego argumentu \(\displaystyle{ 2x, \ \ T_{0} = \pi }\) znajdujemy natychmiast.

Poczułem się słusznie skarcony, bo co ja tu za bzdury piszę i zadania nie rozumiem. I pewnie jak zwykle masz rację, ale ja dałem tylko wskazówkę, która miała autora posta naprowadzić na właściwy trop... Chciałem po prostu, żeby autor zauważył, że `\pi` NIE jest okresem tej funkcji. Ale skoro Ty twierdzisz inaczej...

A tak naprawdę, to Ty nie masz racji: `f(x+\pi)=\sin^2(x+\pi)\cos(x+\pi)=-\sin^2(x)\cos(x)=-f(x)`

Z postaci iloczynowej trudno wywnioskować cokolwiek o okresie iloczynu, co widać z poniższych przykładów:

1) Funkcja sinus ma okres `2\pi`, a jej kwadrat `\pi`.

2) Okresem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1 & x\in[2n,2n+1)\\-1 & x\in [2n+1,2n+2)\end{cases}}\) jest liczba `2`, a okresem jej kwadratu jest każda liczba rzeczywista.

3) Zarówno `\sin x` jak i `\sin \pi x` są okresowe, a ich iloczyn nie jest.

Druga wskazówka: policz maksima lokalne tej funkcji.

[janusz47]

Masz rację, iloczyn funkcji okresowych nie musi być funkcją okresową. W tym zadaniu pierwotna postać iloczynu funkcji okresowych jak i przeksztacona postać iloczynu funkcji okresowych są funkcjami okresowymi. Gdyby nie były - nie mielibyśmy zadania.

[a4karo]

Masz rację, iloczyn funkcji okresowych nie musi być funkcją okresową. W tym zadaniu pierwotna postać iloczynu funkcji okresowych jak i przeksztacona postać iloczynu funkcji okresowych są funkcjami okresowymi. Gdyby nie były - nie mielibyśmy zadania.

Ten komentarz nic nie wnosi do rozwiązania zadania, a ponadto buduje błędne przekonanie, że iloczyn funkcji nieokresowych nie może być okresowy.
To oczywiście nie jest prawdą, o czym przekonuje taki przykład: `f(x)=e^x\sin x, g(x)=e^{-x}`.

Dodano po 2 godzinach 3 minutach 55 sekundach:
Chyba najprostsza wskazówka: popatrz na znak funkcji w przedziałach `(-\pi/2.\pi/2)` i `(\pi/2,3\pi/2)`

[janusz47]

W tym przypadku akurat wnosi, bo funkcja \(\displaystyle{ f }\) podana przez autora postu jest funkcją okresową,

[a4karo]

@Bitinful
Czy wiesz jak skorzystać z mojej wskazówki?