Równanie z trygonometrii

[Velomoth]

Proszę o pomoc z rozwiązaniem tego równania:

\(\displaystyle{ \sin 6x \cdot \cos 2x=\cos7x \cdot \sin x}\)

Próbowałam je rozwiązywać, ale w żaden sposób nie może mi wyjść wynik z odpowiedzi.

[Jan Kraszewski]

Ja bym najpierw wstecznie zastosował wzory na sumę i różnicę sinusów.

JK

[Velomoth]

Próbowałam tak:
\(\displaystyle{ \sin 6x \cdot \cos 2x=\cos7x \cdot \sin x \\
\frac{1}{2}(\sin8x+\sin4x-(\sin8x+\sin(-6x))=0 \\
\frac{1}{2}(\sin8x+\sin4x-(\sin8x-\sin6x)=0\\
\frac{1}{2}(\sin4x+\sin6x)=0\\
\sin4x+\sin6x=0\\
2 \cdot \sin5x \cdot \sin x=0\\
\sin5x \cdot \sin x=0\\
\sin5x=0 \vee \sin x=0\\
5x=k\pi \vee x=k\pi\\
x= \frac{k\pi}{5} }\)

Jednak odpowiedź do zadania jest zupełnie inna

[Jan Kraszewski]

A jaka jest odpowiedź?

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\right)\cdot\cos\left(\frac{1}{2}(\alpha-\beta)\right).}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\right)\cdot\cos\left(\frac{1}{2}(\alpha-\beta)\right).}\)

Jak może zauważyłeś, dokładnie ten wzór został zastosowany.

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ 2\sin(5x)\cdot \cos(x) \neq 2\sin(5x) \cdot \red{\sin(x)} }\)

[Jan Kraszewski]

A słusznie, pierwsza aplikacja była dobra, ale druga aplikacja była błędna.

JK

[Velomoth]

Dziękuję, już widzę swój błąd