Jak obliczyć arctg?

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
freshTomato
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 sty 2022, o 16:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Jak obliczyć arctg?

Post autor: freshTomato »

Witam!
To mój pierwszy post na tym portalu. :)
Chciałbym się was zapytać jak obliczyć arctg? Wiem, że w kalkulatorze jest funkcja tan ^{-1} i rozwiązuje mój problem, jednak chciałbym to się dowiedzieć jak to zrobić bez niego.
Chciałbym to wykorzystywać głównie w życiu codziennym, na przykład, potrzebuje informacji pod jakim kątem wiercić w ścianie aby przebić się w odpowiednim miejscu po drugiej stronie i mam przykładowo wymiary \(\displaystyle{ x=}\)grubość ściany, \(\displaystyle{ y=}\)różnica wysokości obu otworów \(\displaystyle{ y=30,5\ x=51}\), wychodzi mi \(\displaystyle{ \tg = 0,598}\) i teraz chciałbym z tego dowiedzieć się jaki to będzie kąt nie używając tablicy funkcji trygonometrycznej, tylko z arctg, używając tylko kalkulatora prostego? Wiem, że to nie jest takie proste, chciałbym się dowiedzieć co podstawić do czego?

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 21 sty 2022, o 17:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Jak obliczyć arctg?

Post autor: matmatmm »

Zakładając, że masz możliwość obliczania wartości funkcji tangens dla zadanych kątów, możesz zastosować jedną z metod przybliżonego rozwiązywania równań np. metoda bisekcji, metoda siecznych, metoda stycznych.

Druga opcja to rozwinięcie funkcji arcus tangens w szereg Taylora.

Jako że kalkulator prosty nie liczby wartości tangensa, druga opcja wydaje się bardziej sensowna. Inna sprawa, że liczenie czegoś takiego na kalkulatorze prostym to katorga. Mniemam, że chodzi ci po prostu o metodę (np. żeby móc zaprogramować algorytm).
freshTomato
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 sty 2022, o 16:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Jak obliczyć arctg?

Post autor: freshTomato »

Dzięki za odpowiedź, chciałem to wykorzystywać po prostu w życiu codziennym, albo w pracy, ale masz rację za dużo z tym zachodu, wydrukuję sobie małą tablicę wartości trygonometrycznych, zalaminuję i wsadzę do portfela, czasami musze znać kąt czegoś i myślałem, że uda się to zrobić bez tych tablic ale nic z tego. Pozdrawiam :D
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Jak obliczyć arctg?

Post autor: matmatmm »

Skoro to ma być tylko do celów praktycznych, to jest jeszcze jedna możliwość w razie, gdybyś nie miał tablic pod ręką.

Rysujesz na kartce mały trójkąt prostokątny o zadanym tangensie i mierzysz kąt kątomierzem :)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Jak obliczyć arctg?

Post autor: Janusz Tracz »

A co powiesz na karteczkę ze wzorem
\(\displaystyle{ \arctg\, x \approx \frac{\frac{4 x^3}{15}+x}{\frac{3 x^2}{5}+1}}\)

błąd przybliżenia dla \(\displaystyle{ -\pi/2<x<\pi/2}\) nie przekroczy \(\displaystyle{ 0.03}\) choć zakładam, że nie wiercisz pod kątem większym niż \(\displaystyle{ \pi/4}\) wtedy dla \(\displaystyle{ -\pi/4<x<\pi/4}\) błąd nie przekroczy \(\displaystyle{ 0.006}\) radiana. Jeśli taki błąd by Ci nie odpowiadał to

\(\displaystyle{ \arctg\, x \approx \frac{\frac{11 x^3}{21}+x}{\frac{3 x^4}{35}+\frac{6 x^2}{7}+1}}\)

dla \(\displaystyle{ -\pi/4<x<\pi/4}\) da maksymalny błąd \(\displaystyle{ 0.00004}\). Jak to nie będzie Ci wystarczać to potrawie tak dalej.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Jak obliczyć arctg?

Post autor: a4karo »

@Janusz Tracz: `x` nie jest kątem, jest tangensem kąta
freshTomato
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 sty 2022, o 16:49
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Jak obliczyć arctg?

Post autor: freshTomato »

Janusz Tracz pisze: 21 sty 2022, o 18:34 A co powiesz na karteczkę ze wzorem
\(\displaystyle{ \arctg\, x \approx \frac{\frac{4 x^3}{15}+x}{\frac{3 x^2}{5}+1}}\)

błąd przybliżenia dla \(\displaystyle{ -\pi/2<x<\pi/2}\) nie przekroczy \(\displaystyle{ 0.03}\) choć zakładam, że nie wiercisz pod kątem większym niż \(\displaystyle{ \pi/4}\) wtedy dla \(\displaystyle{ -\pi/4<x<\pi/4}\) błąd nie przekroczy \(\displaystyle{ 0.006}\) radiana. Jeśli taki błąd by Ci nie odpowiadał to

\(\displaystyle{ \arctg\, x \approx \frac{\frac{11 x^3}{21}+x}{\frac{3 x^4}{35}+\frac{6 x^2}{7}+1}}\)

dla \(\displaystyle{ -\pi/4<x<\pi/4}\) da maksymalny błąd \(\displaystyle{ 0.00004}\). Jak to nie będzie Ci wystarczać to potrawie tak dalej.
W zupełności mi wystarczy, o takie coś mi chodziło, duże piwo dla ciebie. :mrgreen:
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Jak obliczyć arctg?

Post autor: Janusz Tracz »

a4karo pisze: 21 sty 2022, o 19:29 @Janusz Tracz: `x` nie jest kątem, jest tangensem kąta
No tak faktycznie. Dziękuję. Nieźle mnie zamuliło... żeby napisać, że \(\displaystyle{ x}\) jest w radianach. To jednak dobra wiadomość dla freshTomato te wzory działają jeszcze lepiej. Bo \(\displaystyle{ x}\) zwykle będzie mały raczej nie przekroczy \(\displaystyle{ 1}\) a to oznacza, że dokładność pierwszego wzoru znacznie się poprawi*.

*oczywiście dokładność się nie poprawi bo wzór będzie taki sam... chodzi mi o to, że w zakresie stosowalności błąd będzie bardzo mały mniejszy od wspomnianych \(\displaystyle{ 0.03}\)
ODPOWIEDZ