Oblicz sin,cos wiedząc, że...

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Teren
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 gru 2021, o 13:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Oblicz sin,cos wiedząc, że...

Post autor: Teren » 30 gru 2021, o 12:12

Muszę obliczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2}, \cos \frac{ \alpha }{2} ,\tg \frac{ \alpha }{2},\ctg \frac{ \alpha }{2},\sin2 \alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \cos2 \alpha }\) wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin \alpha =- \frac{3}{4} }\) i \(\displaystyle{ \alpha \in \left(\pi ; \frac{3}{2} \pi\right) }\).
Nie jestem pewien swoich obliczeń a chciałbym żeby w razie problemów ktoś mnie poprawił.
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ -\frac{3}{4} }{2} = - \frac{3}{8} }\)
\(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha}{2} }\) zapisuję sobie to jako \(\displaystyle{ (- \frac{3}{4})^2 + \cos^2 \alpha = 1 }\) z czego \(\displaystyle{ \cos\alpha }\) wychodzi mi \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{7} }{4} }\) bo cosinus w 3 ćwiartce jest ujemny. Więc \(\displaystyle{ \cos \frac{ \alpha }{2} = - \frac{\sqrt{7}}{8} }\)
\(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2} }\) (już biorąc wyniki z poprzednich) wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{7} }{7} }\)
\(\displaystyle{ \ctg \frac{ \alpha }{2} }\) wyszedł mi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{7} }{3} }\)
czy \(\displaystyle{ \sin \alpha }\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha }\) będzie zatem po prostu pomnożeniem \(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} }\) oraz \(\displaystyle{ \cos \frac{ \alpha }{2} }\) przez 4?
Prosiłbym o wyjaśnienie zadania
Ostatnio zmieniony 30 gru 2021, o 13:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30390
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Re: Oblicz sin,cos wiedząc, że...

Post autor: Jan Kraszewski » 30 gru 2021, o 13:05

Teren pisze:
30 gru 2021, o 12:12
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ -\frac{3}{4} }{2} = - \frac{3}{8} }\)
Oj, nie.

\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2}\ne\frac{\sin \alpha }{2}}\)

To jest sinus połowy kąta, a nie połowa sinusa kąta.

JK

Teren
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 gru 2021, o 13:50
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Oblicz sin,cos wiedząc, że...

Post autor: Teren » 30 gru 2021, o 13:25

Jan Kraszewski pisze:
30 gru 2021, o 13:05
Teren pisze:
30 gru 2021, o 12:12
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ -\frac{3}{4} }{2} = - \frac{3}{8} }\)
Oj, nie.

\(\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha }{2}\ne\frac{\sin \alpha }{2}}\)

To jest sinus połowy kąta, a nie połowa sinusa kąta.

JK
W takim razie jak rozwiązać np. ten \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}}\)? Czy mogę prosić o jakąś podpowiedź/rozwiązanie tego podpunktu?
Ostatnio zmieniony 30 gru 2021, o 13:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30390
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Re: Oblicz sin,cos wiedząc, że...

Post autor: Jan Kraszewski » 30 gru 2021, o 13:28

Teren pisze:
30 gru 2021, o 13:25
W takim razie jak rozwiązać np. ten \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}}\)? Czy mogę prosić o jakąś podpowiedź/rozwiązanie tego podpunktu?
Skorzystać ze wzoru na cosinus kąta podwojonego. Skoro \(\displaystyle{ \cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha}\), to \(\displaystyle{ \cos \alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}}\) i stąd możesz wyznaczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Oczywiście pozostałe funkcje kątów połówkowych też policzyłeś źle.

JK

ODPOWIEDZ