Nierówność cyklometryczna

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Nierówność cyklometryczna

Post autor: IceMajor2 » 27 lis 2021, o 12:53

Witam, dana jest taka nierówność: \(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{2} }\arcsin x > 1}\).
Robię zatem:
\(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{2} }\arcsin x > \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\\D:x\in\left\langle -1;1\right\rangle\\\arcsin x>\frac{1}{2}\\\arcsin x>\sin\frac{1}{2}}\)
Nie wiem, co dalej... wiem, że powinien zmienić się znak z \(\displaystyle{ >}\) na \(\displaystyle{ <}\), kiedy usuwamy logarytmy, ale kompletnie nie wiem dlaczego.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30390
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Re: Nierówność cyklometryczna

Post autor: Jan Kraszewski » 27 lis 2021, o 13:02

IceMajor2 pisze:
27 lis 2021, o 12:53
\(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{2} }\arcsin x > \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\\
D:x\in\left\langle -1;1\right\rangle}\)
A skąd ta dziedzina?
IceMajor2 pisze:
27 lis 2021, o 12:53
\(\displaystyle{ \arcsin x>\frac{1}{2}\\\arcsin x>\sin\frac{1}{2}}\)
Nie wiem, co dalej... wiem, że powinien zmienić się znak z \(\displaystyle{ >}\) na \(\displaystyle{ <}\), kiedy usuwamy logarytmy, ale kompletnie nie wiem dlaczego.
Logarytmów nie "usuwa się", tylko korzysta się z monotoniczności funkcji logarytmicznej. Wiesz czym różni się funkcja logarytmiczna o podstawie \(\displaystyle{ a>1}\) od funkcji logarytmicznej o podstawie \(\displaystyle{ 0<a<1}\)?

JK

IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Re: Nierówność cyklometryczna

Post autor: IceMajor2 » 27 lis 2021, o 13:16

Jan Kraszewski pisze:
27 lis 2021, o 13:02
IceMajor2 pisze:
27 lis 2021, o 12:53
\(\displaystyle{ \log_{ \frac{1}{2} }\arcsin x > \log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\\
D:x\in\left\langle -1;1\right\rangle}\)
A skąd ta dziedzina?
IceMajor2 pisze:
27 lis 2021, o 12:53
\(\displaystyle{ \arcsin x>\frac{1}{2}\\\arcsin x>\sin\frac{1}{2}}\)
Nie wiem, co dalej... wiem, że powinien zmienić się znak z \(\displaystyle{ >}\) na \(\displaystyle{ <}\), kiedy usuwamy logarytmy, ale kompletnie nie wiem dlaczego.
Logarytmów nie "usuwa się", tylko korzysta się z monotoniczności funkcji logarytmicznej. Wiesz czym różni się funkcja logarytmiczna o podstawie \(\displaystyle{ a>1}\) od funkcji logarytmicznej o podstawie \(\displaystyle{ 0<a<1}\)?

JK
Ta pierwsza jest rosnąca, a ta druga - malejąca. Dlaczego korzysta się z monotoniczności? Nadal nie rozumiem.
Poprawiam dziedzinę: \(\displaystyle{ D:x\in\left(0;1 \right\rangle}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30390
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Re: Nierówność cyklometryczna

Post autor: Jan Kraszewski » 27 lis 2021, o 13:27

IceMajor2 pisze:
27 lis 2021, o 13:16
Ta pierwsza jest rosnąca, a ta druga - malejąca. Dlaczego korzysta się z monotoniczności? Nadal nie rozumiem.
Bo uczyli Cię w szkole regułek...

Funkcja \(\displaystyle{ f:D \rightarrow \RR}\) jest rosnąca gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in D}\) jeśli \(\displaystyle{ x<y}\), to \(\displaystyle{ f(x)<f(y)}\). Nie jest trudno pokazać, że tak naprawdę dla funkcji rosnącej mamy równoważność \(\displaystyle{ x<y \Leftrightarrow f(x)<f(y)}\). Analogicznie, dla funkcji malejącej mamy równoważność \(\displaystyle{ x<y \Leftrightarrow f(x)>f(y)}\).

To co nazywasz "opuszczaniem logarytmów" to tak naprawdę skorzystanie z tej równoważności. W przypadku, gdy mamy podstawę \(\displaystyle{ a>1}\), to funkcja logarytmiczna jest rosnąca, więc \(\displaystyle{ \log_ax<\log_ay \Leftrightarrow x<y}\), gdy zaś mamy podstawę \(\displaystyle{ 0<a<1}\), to funkcja logarytmiczna jest malejąca, więc \(\displaystyle{ \log_ax<\log_ay \Leftrightarrow x>y}\).

A teraz zastanów się, jaka jest podstawa Twojego logarytmu...

JK

IceMajor2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 lut 2017, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

Re: Nierówność cyklometryczna

Post autor: IceMajor2 » 27 lis 2021, o 14:52

Jan Kraszewski pisze:
27 lis 2021, o 13:27
IceMajor2 pisze:
27 lis 2021, o 13:16
Ta pierwsza jest rosnąca, a ta druga - malejąca. Dlaczego korzysta się z monotoniczności? Nadal nie rozumiem.
Bo uczyli Cię w szkole regułek...

Funkcja \(\displaystyle{ f:D \rightarrow \RR}\) jest rosnąca gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in D}\) jeśli \(\displaystyle{ x<y}\), to \(\displaystyle{ f(x)<f(y)}\). Nie jest trudno pokazać, że tak naprawdę dla funkcji rosnącej mamy równoważność \(\displaystyle{ x<y \Leftrightarrow f(x)<f(y)}\). Analogicznie, dla funkcji malejącej mamy równoważność \(\displaystyle{ x<y \Leftrightarrow f(x)>f(y)}\).

To co nazywasz "opuszczaniem logarytmów" to tak naprawdę skorzystanie z tej równoważności. W przypadku, gdy mamy podstawę \(\displaystyle{ a>1}\), to funkcja logarytmiczna jest rosnąca, więc \(\displaystyle{ \log_ax<\log_ay \Leftrightarrow x<y}\), gdy zaś mamy podstawę \(\displaystyle{ 0<a<1}\), to funkcja logarytmiczna jest malejąca, więc \(\displaystyle{ \log_ax<\log_ay \Leftrightarrow x>y}\).

A teraz zastanów się, jaka jest podstawa Twojego logarytmu...

JK
Rozumiem, dziękuję.
Więc to samo jest na przykład w tej sytuacji, prawda? \(\displaystyle{ \cos x \ge -\frac{1}{2}\\\cos x \ge \cos \frac{2\pi}{3}}\)
Ze względu na to, że funkcja cosinus na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0;\pi\right\rangle }\) jest malejąca, to \(\displaystyle{ x \le \frac{2\pi}{3}}\). Czy to się zgadza?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30390
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4864 razy

Re: Nierówność cyklometryczna

Post autor: Jan Kraszewski » 27 lis 2021, o 14:59

IceMajor2 pisze:
27 lis 2021, o 14:52
Więc to samo jest na przykład w tej sytuacji, prawda? \(\displaystyle{ \cos x \ge -\frac{1}{2}\\\cos x \ge \cos \frac{2\pi}{3}}\)
Ze względu na to, że funkcja cosinus na przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0;\pi\right\rangle }\) jest malejąca, to \(\displaystyle{ x \le \frac{2\pi}{3}}\). Czy to się zgadza?
Tak, na tym przedziale zgadza się.

JK

ODPOWIEDZ