Nierówności trygonometryczne

[AZS06]

Witam,
proszę o sprawdzenie:

a)

\(\displaystyle{ 2 \sin x > \sqrt{2} \\
\sin x > \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
x \in (\frac{ \pi }{4} + 2 k \pi ; \frac{3 \pi }{4} + 2 k \pi )
}\)

Czy wynik może być tak zapisany, czy można jakoś krócej ?

b)

\(\displaystyle{ \cos^2 x < \frac{3}{4} \\
\cos^2 x - \frac{3}{4} < 0 \\
(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2})(\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}) < 0 \\
\\
... \\
\\
x \in (\frac{- \pi }{6} + 2 k \pi ; \frac{\pi }{6} + 2 k \pi )

}\)

Czy wynik może być tak zapisany, czy można jakoś krócej ?

[kerajs]

a)
\(\displaystyle{
x \in (\frac{ \pi }{4} + 2 k \pi ; \frac{3 \pi }{4} + 2 k \pi )
}\)

Dobrze.

b)

\(\displaystyle{
x \in (\frac{- \pi }{6} + 2 k \pi ; \frac{\pi }{6} + 2 k \pi )}\)

Źle.

[Jan Kraszewski]

a)
\(\displaystyle{
x \in (\frac{ \pi }{4} + 2 k \pi ; \frac{3 \pi }{4} + 2 k \pi )
}\)

Dobrze.

Rozwiązanie dobrze, ale jeśli chodzi o zapis, nawet szkolny, to należałoby dodać \(\displaystyle{ k\in\ZZ.}\)

JK

[AZS06]

Jakieś wskazówki co do podpunktu b ?

[JHN]

Jakieś wskazówki co do podpunktu b ?

Ja bym zaczął
\(\displaystyle{ \cos^2 x < \frac{3}{4}\iff |\cos x |< \frac{\sqrt3}{2}
}\)
albo
\(\displaystyle{ 2\cos^2 x-1 < \frac{1}{2}\iff \cos 2x < \frac{1}{2} }\)

Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

Albo brutalnie rozpatrujesz przypadki:

1. \(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}<0\\ \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}> 0 \end{cases} }\)
lub
2. \(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}>0\\ \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}< 0 \end{cases} }\)

JK

[AZS06]

\(\displaystyle{ |\cos x| < \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \vee \cos x > - \frac{\sqrt{3}}{2} \\

ODP:\ x \in \RR }\) ?

[JHN]

\(\displaystyle{ \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} \red{\vee} \cos x > - \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Powinno być \(\displaystyle{ \wedge}\)

Pozdrawiam

[AZS06]

oki, zatem to tak będzie wyglądało: ?

\(\displaystyle{ x \in (\frac{\pi}{6} + 2k \pi ; \frac{5\pi}{6} + 2k \pi) \vee (\frac{7\pi}{6} + 2k \pi ; \frac{11\pi}{6} + 2k \pi)}\)

Dziękuje za pomoc

[Jan Kraszewski]

oki, zatem to tak będzie wyglądało: ?

\(\displaystyle{ x \in (\frac{\pi}{6} + 2k \pi ; \frac{5\pi}{6} + 2k \pi)\ \red{ \vee }\ (\frac{7\pi}{6} + 2k \pi ; \frac{11\pi}{6} + 2k \pi)}\)

No tak nie, bo nie ma alternatywy zbiorów. Jak już, to

\(\displaystyle{ x \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k \pi ; \frac{5\pi}{6} + 2k \pi\right) \cup \left( \frac{7\pi}{6} + 2k \pi ; \frac{11\pi}{6} + 2k \pi\right),\ k\in\ZZ. }\)

JK