Równości trygonometryczne

[AZS06]

Witam, prośba o sprawdzenie przykładów a, b, c czy wyszło dobrze oraz pomoc w przykładzie d. Dziękuję

a) \(\displaystyle{ \cos( x - \frac{\pi}{4} ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k \pi \\
x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k \pi, k \in C \\
x = \frac{5 \pi}{12} + 2 k \pi \vee x = \frac{25 \pi}{12} + 2 k \pi, k \in C }\)

b) \(\displaystyle{ 2\cos ^{2} x - 5\cos x + 2 = 0 \\
2\cos ^{2} x = t, t > 0, t \in \left\langle -1, 1 \right\rangle \\
.... \\
t = \frac {1}{2} \\
\cos x = \frac{ \sqrt{2}}{2} \vee \cos x = - \frac{ \sqrt{2}}{2} \\
x = \frac{\pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{7 \pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{3\pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{5\pi}{4} + 2k \pi, gdzie k \in C }\)


c) \(\displaystyle{ \tg ( \frac{x}{3} ) = - \sqrt{3} \\
\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k \pi \\
x = \frac{3 \pi}{2} + \pi + 3 k \pi \\
x = \frac{5 \pi}{2} + 3 k \pi }\)

d) \(\displaystyle{ \sin (30^\circ + x) = \sin (30^\circ- x) ?? }\)

[JHN]

b) \(\displaystyle{ 2\cos ^{2} x - 5cosx + 2 = 0 \\
2\cos ^{2} x = t, t > 0, t \in \left\langle -1, 1 \right\rangle }\)

Chodziło Ci o \(\displaystyle{ \cos x=t}\)...

d) \(\displaystyle{ \ sin (30st + x) = \ sin (30st- x) ?? }\)

Np.
\(\displaystyle{ (30^\circ +x= 30^\circ-x+k\cdot2\pi\vee 30^\circ +x=180^\circ-( 30^\circ-x)+k\cdot2\pi\vee) \wedge k\in\mathbb{Z}}\)
albo wszystko na lewą stronę i odejmij sinusy...

Pozdrawiam

[AZS06]

Witam,
tak były błędy w przykładzie b oraz d:

Edit przykład b:


b) \(\displaystyle{ 2\cos ^{2} x - 5\cos x + 2 = 0 \\
\cos ^{2} x = t, t > 0, t \in \left\langle -1, 1 \right\rangle \\
.... \\
2t^{2} - 5t +2 = 0 \\
t = \frac {1}{2} \\
t = 2 - odrzucamy \\
\cos x = \frac{ \sqrt{2}}{2} \vee \cos x = - \frac{ \sqrt{2}}{2} \\
x = \frac{\pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{7 \pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{3\pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{5\pi}{4} + 2k \pi, gdzie k \in C }\)

Natomiast przykład z podpunktu d powinien tak wyglądać:

d) \(\displaystyle{ \sin (30^\circ + x) + \sin (30^\circ- x) = - \frac{1}{2} }\)

Czy podpunkty a, b, c są rozwiązane dobrze ?

[Jan Kraszewski]

b) \(\displaystyle{ 2\cos ^{2} x - 5\cos x + 2 = 0 \\
\red{\cos ^{2} x = t, t > 0}, t \in \left\langle -1, 1 \right\rangle \\
.... \\
2t^{2} - 5t +2 = 0 }\)

Znów coś pokićkałeś z tym podstawieniem.

JK

[AZS06]

No jak, wg. mnie jest ok hm ?

[Jan Kraszewski]

No jak, wg. mnie jest ok hm ?

Zdecydowanie nie jest OK. Jeśli

\(\displaystyle{ \cos ^{2} x = t,}\)

to

\(\displaystyle{ 2t^{2} - 5t +2 =2\cos^4x-5\cos^2x+2,}\)

a to nie daje równania, które rozwiązujesz.

JK

[AZS06]

Jasne, ze blad. przepraszam

winno byc:
\(\displaystyle{ \cos x = t }\)

[Jan Kraszewski]

No właśnie (i nie ma założenia \(\displaystyle{ t>0}\)). W związku z tym rozwiązania też są inne.

a) \(\displaystyle{ \cos( x - \frac{\pi}{4} ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k \pi \\
x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k \pi \vee x = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k \pi, k \in C}\)

Trzecia linijka jest OK, ale drugiej za Chiny nie rozumiem...

JK

[AZS06]

W związku z tym rozwiązania też są inne.

Czyli rozwiazania są błędne ?

Trzecia linijka jest OK, ale drugiej za Chiny nie rozumiem...

Drugiej linijki nie powinno byc. Szkoda ze nie mozna edytowac postów swoich.

Dodano po 7 minutach 6 sekundach:
proszę o pomoc w kolejnych przykladach:

d) \(\displaystyle{ \sin (30 ^\circ + x ) + \sin (30 ^\circ - x) = - \frac{1}{2} }\)
e) \(\displaystyle{ \sin 2x \cdot \sin x = \cos x }\)
f) \(\displaystyle{ 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt 2}{4} }\)

[Jan Kraszewski]

W związku z tym rozwiązania też są inne.

Czyli rozwiazania są błędne ?

Oczywiście. Przecież dostałeś \(\displaystyle{ t=\frac12}\) i ze względu na błędnie opisane podstawienie rozwiązywałeś równanie \(\displaystyle{ \cos^2x=\frac12}\) zamiast \(\displaystyle{ \cos x=\frac12}\).

proszę o pomoc w kolejnych przykladach:

W d) już dostałeś podpowiedź, w e) i f) korzystasz ze wzoru na sinus kąta podwojonego (ale w różnych kierunkach - w e) rozpisujesz, w f) zwijasz).

JK

[AZS06]

Ale przyklad d inaczej wygląda niż pierwotnie, na którym dałeś podpowiedź.

[Jan Kraszewski]

To nie ja dałem podpowiedź, ale wystarczy chwilę pomyśleć. Skoro zostało napisane

albo wszystko na lewą stronę i odejmij sinusy...

to wymyślenie, że wskazówką może być "dodaj sinusy" nie jest trudne.

JK

[AZS06]

Nie rozumiem. Może coś bardziej podpowiesz ?

[Dasio11]

Skorzystaj ze wzoru na sumę sinusów.

[AZS06]

Reasumując, tak mi to wyszło:

b)

\(\displaystyle{ 2 \cos ^2 x - 5 \cos x + 2 = 0 \\
... \\
\cos x = \frac{1}{2} \\
x = \frac {\pi}{3} + 2k \pi \vee x = \frac {5\pi}{3} + 2k \pi }\)

c)

\(\displaystyle{ \tg (\frac{x}{3}) = - \sqrt{3} \\
\frac{x}{3} = 2 \pi - \frac{\pi}{3} + k \pi /\cdot 3 \\
x = 5\pi + 3k \pi
}\)

d)

\(\displaystyle{ \sin(30^\circ + x) + \sin(30^\circ - x) = - \frac{1}{2} \\
\\
... \\
\\ 2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos x = - \frac{1}{2} \\
\cos x = - \frac{1}{2} \\
x = \frac {4\pi}{3} + 2k \pi \vee x = \frac {2\pi}{3} + 2k \pi
}\)

e)

\(\displaystyle{ \sin 2x \cdot \sin x = \cos x \\
\cos x (2 \sin^2 x - 1) = 0 \\
\cos x = 0 \vee \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \vee \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\

x = \left\{ \frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}; \frac{3 \pi}{4}; \frac{5 \pi}{4}; \frac{3 \pi}{2}; \frac{7 \pi}{4}; \right\} + 2 k \pi }\) - czy tak może być zapisany wynik ?

f)

\(\displaystyle{ 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{4} \\
\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{4} / \cdot 2 \\
2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\sin 4x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\
x = \frac{\pi}{16} + 0,5k \pi \vee \frac{3 \pi}{16} + 0,5 k\pi

}\)

Dziękuję za wszelkie odpowiedzi.

Pozdrawiam

Dodano po 4 godzinach 42 minutach 49 sekundach:
Jest OK ? Czy gdzieś jest błąd ?