Nierówność trygonometryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 26 sie 2021, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Nierówność trygonometryczna
Dobry wieczór,
mam nierówność trygonometryczną \(\displaystyle{ \tg^{2}2x+3\sin x<2}\). Do rozwiązania w przedziale od \(\displaystyle{ -\pi}\) do \(\displaystyle{ \pi}\). Próbuję przedstawić ten \(\displaystyle{ \tg2x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{\sin2x}{\cos2x}}\). Ale jak potem rozbijam te \(\displaystyle{ \sin2x}\) i \(\displaystyle{ \cos2x}\) wzorami i podnoszę wszystko do kwadratu to wychodzą jakieś skomplikowane liczby, których nijak się nie da uprościć. Mniemam zatem, że nie tędy droga. Jak Waszym zdaniem się za to zabrać?
mam nierówność trygonometryczną \(\displaystyle{ \tg^{2}2x+3\sin x<2}\). Do rozwiązania w przedziale od \(\displaystyle{ -\pi}\) do \(\displaystyle{ \pi}\). Próbuję przedstawić ten \(\displaystyle{ \tg2x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{\sin2x}{\cos2x}}\). Ale jak potem rozbijam te \(\displaystyle{ \sin2x}\) i \(\displaystyle{ \cos2x}\) wzorami i podnoszę wszystko do kwadratu to wychodzą jakieś skomplikowane liczby, których nijak się nie da uprościć. Mniemam zatem, że nie tędy droga. Jak Waszym zdaniem się za to zabrać?
Ostatnio zmieniony 16 paź 2021, o 20:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Nierówność trygonometryczna
Wolfram mówi, że w tym przedziale jest 5 pierwiastków równania `...=2`, ale chyba nie ma szans na podanie wzorów na nie
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Nierówność trygonometryczna
Dobry Wieczór
Jeśli sprowadzimy nierówność trygonometryczną do jednej funkcji pojedynczego argumentu \(\displaystyle{ \sin(x), }\) wtedy po podstawieniu \(\displaystyle{ \sin(x) = t, \ \ t\in [-1, 1] }\) wychodzi nierówność wielomianowa piątego stopnia,
\(\displaystyle{ 12t^5 -12t^4 -12t^3 +12t^2 +3t -2 < 0, }\)
którą możemy rozwiązać tylko metodami przybliżonymi.
Czy jest inny sposób rozwiązania ?
Jeśli sprowadzimy nierówność trygonometryczną do jednej funkcji pojedynczego argumentu \(\displaystyle{ \sin(x), }\) wtedy po podstawieniu \(\displaystyle{ \sin(x) = t, \ \ t\in [-1, 1] }\) wychodzi nierówność wielomianowa piątego stopnia,
\(\displaystyle{ 12t^5 -12t^4 -12t^3 +12t^2 +3t -2 < 0, }\)
którą możemy rozwiązać tylko metodami przybliżonymi.
Czy jest inny sposób rozwiązania ?
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Nierówność trygonometryczna
kuomi skorzystaj z takiej tożsamości trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \tg 2x= \frac{2 \tg x}{1-\tg^2x} }\)
Jeśli wyrazisz wszystkie funkcje trygonometryczne w równaniu przez tangens połowy kąta kąta wg znanych wzorów
\(\displaystyle{ \tg x= \frac{2\tg \frac{x}{2} }{1-\tg^2 \frac{x}{2} } }\)
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2} }{1+\tg^2 \frac{x}{2} }}\)
to Twoja nierówność przybierze formę nierówności wymiernej.
\(\displaystyle{ \tg 2x= \frac{2 \tg x}{1-\tg^2x} }\)
Jeśli wyrazisz wszystkie funkcje trygonometryczne w równaniu przez tangens połowy kąta kąta wg znanych wzorów
\(\displaystyle{ \tg x= \frac{2\tg \frac{x}{2} }{1-\tg^2 \frac{x}{2} } }\)
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2} }{1+\tg^2 \frac{x}{2} }}\)
to Twoja nierówność przybierze formę nierówności wymiernej.
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Nierówność trygonometryczna
Sugeruję nie zgadywać, co zrobi admin.
Gdybyś uważnie czytał, to wiedziałbyś, że cały czas dyskutujemy o tej samej nierówności. A Ty nie uzasadniłeś, dlaczego Twoja wskazówka ma prowadzić do prostszej nierówności niż nierówność janusza47.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Nierówność trygonometryczna
Korzystając z funkcji sinus czy tangensa połowy argumentu, w każdym z tych przypadków otrzymujemy nierówność wymierną.
Rozwiązanie tych nierówności można uzyskać tylko metodami przybliżonymi lub z pomocą programu komputerowego.
Rozwiązanie tych nierówności można uzyskać tylko metodami przybliżonymi lub z pomocą programu komputerowego.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 26 sie 2021, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Re: Nierówność trygonometryczna
Dzięki za odzew. Na pewno nie chodzi o rozwiązanie z użyciem programu komputerowego, bo to zadanie z listy na ćwiczenia i jako tako z takich udogodnień nie wolno nam korzystać. Metod przybliżonych nie braliśmy ani na studiach ani w szkole średniej, więc też wątpię by chodziło o ich zastosowanie. No chyba, że prowadzący się jakoś pomylił wpisując przykład.
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Nierówność trygonometryczna
Może mu się dwójka zdublowała i miało być \(\displaystyle{ \tg^{2}x+3\sin x<2}\)?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Nierówność trygonometryczna
Co wcale nie ułatwia życiaJan Kraszewski pisze: ↑17 paź 2021, o 13:36 Może mu się dwójka zdublowała i miało być \(\displaystyle{ \tg^{2}x+3\sin x<2}\)?
JK
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy