Nierówność trygonometryczna

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kuomi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 26 sie 2021, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Nierówność trygonometryczna

Post autor: kuomi »

Dobry wieczór,

mam nierówność trygonometryczną \(\displaystyle{ \tg^{2}2x+3\sin x<2}\). Do rozwiązania w przedziale od \(\displaystyle{ -\pi}\) do \(\displaystyle{ \pi}\). Próbuję przedstawić ten \(\displaystyle{ \tg2x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{\sin2x}{\cos2x}}\). Ale jak potem rozbijam te \(\displaystyle{ \sin2x}\) i \(\displaystyle{ \cos2x}\) wzorami i podnoszę wszystko do kwadratu to wychodzą jakieś skomplikowane liczby, których nijak się nie da uprościć. Mniemam zatem, że nie tędy droga. Jak Waszym zdaniem się za to zabrać?
Ostatnio zmieniony 16 paź 2021, o 20:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: a4karo »

Wolfram mówi, że w tym przedziale jest 5 pierwiastków równania `...=2`, ale chyba nie ma szans na podanie wzorów na nie
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: janusz47 »

Dobry Wieczór

Jeśli sprowadzimy nierówność trygonometryczną do jednej funkcji pojedynczego argumentu \(\displaystyle{ \sin(x), }\) wtedy po podstawieniu \(\displaystyle{ \sin(x) = t, \ \ t\in [-1, 1] }\) wychodzi nierówność wielomianowa piątego stopnia,

\(\displaystyle{ 12t^5 -12t^4 -12t^3 +12t^2 +3t -2 < 0, }\)

którą możemy rozwiązać tylko metodami przybliżonymi.

Czy jest inny sposób rozwiązania ?
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: Dilectus »

kuomi skorzystaj z takiej tożsamości trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \tg 2x= \frac{2 \tg x}{1-\tg^2x} }\)

Jeśli wyrazisz wszystkie funkcje trygonometryczne w równaniu przez tangens połowy kąta kąta wg znanych wzorów

\(\displaystyle{ \tg x= \frac{2\tg \frac{x}{2} }{1-\tg^2 \frac{x}{2} } }\)

\(\displaystyle{ \sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2} }{1+\tg^2 \frac{x}{2} }}\)

to Twoja nierówność przybierze formę nierówności wymiernej.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: Jan Kraszewski »

Dilectus pisze: 17 paź 2021, o 10:47 janusz47, załóż nowy temat i przedstaw swój problem, nie podpinaj się do innych tematów, bo Admin umieści Twój wpis w koszu.
Sugeruję nie zgadywać, co zrobi admin.
Dilectus pisze: 17 paź 2021, o 10:47 I przedstaw nierówność trygonometryczną, z którą się borykasz, bo sam wielomian, do którego ją sprowadziłeś, nie wystarczy.
Gdybyś uważnie czytał, to wiedziałbyś, że cały czas dyskutujemy o tej samej nierówności. A Ty nie uzasadniłeś, dlaczego Twoja wskazówka ma prowadzić do prostszej nierówności niż nierówność janusza47.

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: janusz47 »

Korzystając z funkcji sinus czy tangensa połowy argumentu, w każdym z tych przypadków otrzymujemy nierówność wymierną.

Rozwiązanie tych nierówności można uzyskać tylko metodami przybliżonymi lub z pomocą programu komputerowego.
kuomi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 26 sie 2021, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: kuomi »

Dzięki za odzew. Na pewno nie chodzi o rozwiązanie z użyciem programu komputerowego, bo to zadanie z listy na ćwiczenia i jako tako z takich udogodnień nie wolno nam korzystać. Metod przybliżonych nie braliśmy ani na studiach ani w szkole średniej, więc też wątpię by chodziło o ich zastosowanie. No chyba, że prowadzący się jakoś pomylił wpisując przykład.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: Jan Kraszewski »

Może mu się dwójka zdublowała i miało być \(\displaystyle{ \tg^{2}x+3\sin x<2}\)?

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: a4karo »

Jan Kraszewski pisze: 17 paź 2021, o 13:36 Może mu się dwójka zdublowała i miało być \(\displaystyle{ \tg^{2}x+3\sin x<2}\)?

JK
Co wcale nie ułatwia życia :)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Nierówność trygonometryczna

Post autor: Jan Kraszewski »

No ale przynajmniej obniża stopień wielomianu...

JK
ODPOWIEDZ