nierówność tryg. z szeregiem

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

nierówność tryg. z szeregiem

Post autor: VanHezz »

W podręczniku Kurczabów pojawił się przykład nierówności:

\(\displaystyle{ \cos x + \cos^{2}x + \cos^{3}x+\cos^{4}x+... \ge 1 }\)

Rozwiązując tę nierówność, traktują lewą stronę jak szereg geometryczny o wyrazie początkowym i ilorazie \(\displaystyle{ a_{1} =\cos x}\), \(\displaystyle{ q=\cos x}\). Wówczas szereg ten jest zbieżny, gdy \(\displaystyle{ |q| < 1}\), zatem gdy \(\displaystyle{ |\cos x|<1}\), więc, \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{ x: x=k\pi, k \in C\right\} }\).

A ja chciałbym zapytać, co stoi na przeszkodzie, żeby ten szereg był rozbieżny do \(\displaystyle{ + \infty}\), czyli żeby dołączyć do dziedziny \(\displaystyle{ 2k \pi }\). Wówczas po lewej stronie byłaby suma jedynek.


Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2021, o 22:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: nierówność tryg. z szeregiem

Post autor: piasek101 »

Poczytaj temat z moją niewiedzą :
Nierówność logarytmiczna z ciągiem
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: nierówność tryg. z szeregiem

Post autor: VanHezz »

Dzięki! Trochę mało wyrozumiałości ci okazali, bo to nie jest wcale takie oczywiste. Intuicyjnie lewa strona powinna być większa. No ale rozumiem. Czyli po prostu nie można wówczas porównać obu stron, bo suma po lewej nie istnieje.

A co za problem, żeby się matematycznie umówić, że w takich sytuacjach też można porównywać?
Jakie to jest przykre :/
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: nierówność tryg. z szeregiem

Post autor: a4karo »

To jednak nie przeczytałeś uważnie linku, który podal piasek101, albo nie zrozumiałeś o czym tam pisaliśmy
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: nierówność tryg. z szeregiem

Post autor: VanHezz »

Wydaje mi się, że przeczytałem z uwagą. Dlaczego sądzisz inaczej?

"Szereg nie jest dla nich zbieżny, więc wyrażenie po lewej stronie nie ma sensu."

"Oczywiście, że te zapisy są niepoprawne, bo lewe strony tych nierówności nic nie oznaczają. Wytłumaczenie jest proste: wpadasz w pułapkę wielokropka."

"W zapisie \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\) , aby miał jakikolwiek sens, lewa strona musi oznaczać SUMĘ szeregu, a w tym przypadku ta suma nie istnieje."

"Odpowiedź już była - wtedy nie ma żadnej nierówności. Bo żeby można było pytać o prawdziwość nierówności, to musisz mieć NAJPIERW dwie dobrze zdefiniowane liczby, a dopiero POTEM możesz zadać pytanie o nierówność pomiędzy nimi."


"Suma nieskończonego niezbieżnego szeregu geometrycznego" nie istnieje."

"A skoro nie istnieje (moje braki) to po problemie."
ODPOWIEDZ