Witam,
jak udowodnić, że
\(\displaystyle{ 1-\frac{x^2}{2}\le \cos x}\)
nierówność trygonometryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: nierówność trygonometryczna
Dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ \sin x \leq x}\). Zatem
\(\displaystyle{ \int_0^x \sin xdx\leq \int_0^x x dx}\) i już.
\(\displaystyle{ \int_0^x \sin xdx\leq \int_0^x x dx}\) i już.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: nierówność trygonometryczna
A bez całek: skoro \(\displaystyle{ |\sin t|\le |t|}\), to
\(\displaystyle{ \sin^2 \left( \frac x 2\right) \le \frac{x^2}4\\1-2\sin^2 \left( \frac x 2\right)\ge 1-\frac{x^2}2\\\cos x\ge 1-\frac{x^2}2}\)
c.n.d.
\(\displaystyle{ \sin^2 \left( \frac x 2\right) \le \frac{x^2}4\\1-2\sin^2 \left( \frac x 2\right)\ge 1-\frac{x^2}2\\\cos x\ge 1-\frac{x^2}2}\)
c.n.d.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: nierówność trygonometryczna
@Premislav
Specjalnie użyłem całek, bo to daje taki ładny ciąg nierówności
A nierówność `\sin x<x` wynika z całkowania nierówności `\cos x<1`.
A nierówność `\sin x>x-x^3/6` wynika z całkowania nierówności `\cos x >1-x^2/2`
całkując `\sin x>x-x^3/6` dostajemy `\cos x<1-x^2/2+x^4/24` itd...
A jak się wyjdzie od `\sin x<1`, to dostajemy oszacowanie z drugiej strony przez sumy częściowe szeregów Taylora. Stąd również dostajemy, że te oczasowania są baaaardzo dobre.
Thx Premislav za poprawę usterki
Specjalnie użyłem całek, bo to daje taki ładny ciąg nierówności
A nierówność `\sin x<x` wynika z całkowania nierówności `\cos x<1`.
A nierówność `\sin x>x-x^3/6` wynika z całkowania nierówności `\cos x >1-x^2/2`
całkując `\sin x>x-x^3/6` dostajemy `\cos x<1-x^2/2+x^4/24` itd...
A jak się wyjdzie od `\sin x<1`, to dostajemy oszacowanie z drugiej strony przez sumy częściowe szeregów Taylora. Stąd również dostajemy, że te oczasowania są baaaardzo dobre.
Thx Premislav za poprawę usterki