Witam,
mam problem z pewnym przekształceniem.
\(\displaystyle{ r\cos\alpha=a(1-\sin\alpha),r(1+\sin\alpha)=a\cos\alpha}\)
i według książki to jest równe
\(\displaystyle{ \frac{a-r}{a+r}=\tg\frac{\alpha}{2}}\)
chciałbym się dowiedzieć jak do tego krok po kroku można dojść.
przekształcenia wzorów
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: przekształcenia wzorów
\(\displaystyle{ r\cos\alpha=a(1-\sin\alpha)\\
r(\cos^2 \frac{\alpha}{2} -\sin^2\frac{\alpha}{2} )=a(sin^2\frac{\alpha}{2} +\cos^2\frac{\alpha}{2} -2\sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}) \\
r(\cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} )(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )=a(cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} )^2\\
r(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )=a(cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} ) \\
r(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )=a(cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} )(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )\\
r(\sin^2\frac{\alpha}{2} +\cos^2\frac{\alpha}{2} +2\sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2})=a (\cos^2 \frac{\alpha}{2} -\sin^2\frac{\alpha}{2} ) \\
r(1+\sin\alpha)=a\cos\alpha}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ r(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )=a(cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} ) \\
sin\frac{\alpha}{2}(r+a)=\cos\frac{\alpha}{2}(a-r)\\
\tg\frac{\alpha}{2}= \frac{a-r}{a+r} }\)
r(\cos^2 \frac{\alpha}{2} -\sin^2\frac{\alpha}{2} )=a(sin^2\frac{\alpha}{2} +\cos^2\frac{\alpha}{2} -2\sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}) \\
r(\cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} )(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )=a(cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} )^2\\
r(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )=a(cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} ) \\
r(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )=a(cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} )(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )\\
r(\sin^2\frac{\alpha}{2} +\cos^2\frac{\alpha}{2} +2\sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2})=a (\cos^2 \frac{\alpha}{2} -\sin^2\frac{\alpha}{2} ) \\
r(1+\sin\alpha)=a\cos\alpha}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ r(\cos\frac{\alpha}{2} +\sin\frac{\alpha}{2} )=a(cos\frac{\alpha}{2} -\sin\frac{\alpha}{2} ) \\
sin\frac{\alpha}{2}(r+a)=\cos\frac{\alpha}{2}(a-r)\\
\tg\frac{\alpha}{2}= \frac{a-r}{a+r} }\)