Równanie z wysokimi potęgami

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Równanie z wysokimi potęgami

Post autor: 41421356 »

\(\displaystyle{ \sin^{48}x+\cos^{48}x=1 \ \ , \ \ x\in\mathbb{R}}\)

Jak to rozwiązać w miarę najszybciej? Jak wogóle rozwiązywać takie równania z dużą, parzystą potęgą?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Równanie z wysokimi potęgami

Post autor: Tmkk »

Wskazówka: \(\displaystyle{ \sin^{48}{x} \le \sin^{2}{x} }\) oraz \(\displaystyle{ \cos^{48}{x} \le \cos^{2}{x} }\).
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Równanie z wysokimi potęgami

Post autor: JHN »

Ja bym zaczął:
\(\displaystyle{ \sin^{48}x+\cos^{48}x=\sin^2x+\cos^2x\\
\sin^2x(1-\sin^{46}x)+\cos^2x(1-\cos^{46}x)=0}\)

Wobec nieujemności czynników w składnikach
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin^2x(1-\sin^{46}x)=0 \\ \cos^2x(1-\cos^{46}x)=0 \end{cases} }\)
i do rozwiązania blisko

Pozdrawiam
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Równanie z wysokimi potęgami

Post autor: 41421356 »

Tmkk pisze: 21 maja 2021, o 20:06 Wskazówka: \(\displaystyle{ \sin^{48}{x} \le \sin^{2}{x} }\) oraz \(\displaystyle{ \cos^{48}{x} \le \cos^{2}{x} }\).
Jak konkretnie to wykorzystać?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie z wysokimi potęgami

Post autor: Premislav »

Dodaj takie nierówności stronami i skorzystaj z jedynki trygonometrycznej, a otrzymasz wniosek, że musi zachodzić równość w tych nierównościach. Kiedy zachodzi równość w nierówności \(\displaystyle{ t^{48}\le t^2, \ t\in [0,1]}\) :?:

W zasadzie to nawet nie tak bardzo różni się od tego, co zaproponował JHN.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Równanie z wysokimi potęgami

Post autor: 41421356 »

Wydaje mi się, że już rozumiem. Dziękuję Wszystkim za pomoc.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Równanie z wysokimi potęgami

Post autor: Dilectus »

Albo - jeśli znasz rachunek liczb zespolonych - skorzystaj ze wzorów de Moivre’a. :)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z wysokimi potęgami

Post autor: a4karo »

Dilectus pisze: 23 maja 2021, o 10:25 Albo - jeśli znasz rachunek liczb zespolonych - skorzystaj ze wzorów de Moivre’a. :)
A możesz pokazać jak?
ODPOWIEDZ