Równanie z wysokimi potęgami
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Równanie z wysokimi potęgami
\(\displaystyle{ \sin^{48}x+\cos^{48}x=1 \ \ , \ \ x\in\mathbb{R}}\)
Jak to rozwiązać w miarę najszybciej? Jak wogóle rozwiązywać takie równania z dużą, parzystą potęgą?
Jak to rozwiązać w miarę najszybciej? Jak wogóle rozwiązywać takie równania z dużą, parzystą potęgą?
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie z wysokimi potęgami
Ja bym zaczął:
\(\displaystyle{ \sin^{48}x+\cos^{48}x=\sin^2x+\cos^2x\\
\sin^2x(1-\sin^{46}x)+\cos^2x(1-\cos^{46}x)=0}\)
Wobec nieujemności czynników w składnikach
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin^2x(1-\sin^{46}x)=0 \\ \cos^2x(1-\cos^{46}x)=0 \end{cases} }\)
i do rozwiązania blisko
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ \sin^{48}x+\cos^{48}x=\sin^2x+\cos^2x\\
\sin^2x(1-\sin^{46}x)+\cos^2x(1-\cos^{46}x)=0}\)
Wobec nieujemności czynników w składnikach
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin^2x(1-\sin^{46}x)=0 \\ \cos^2x(1-\cos^{46}x)=0 \end{cases} }\)
i do rozwiązania blisko
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równanie z wysokimi potęgami
Dodaj takie nierówności stronami i skorzystaj z jedynki trygonometrycznej, a otrzymasz wniosek, że musi zachodzić równość w tych nierównościach. Kiedy zachodzi równość w nierówności \(\displaystyle{ t^{48}\le t^2, \ t\in [0,1]}\)
W zasadzie to nawet nie tak bardzo różni się od tego, co zaproponował JHN.
W zasadzie to nawet nie tak bardzo różni się od tego, co zaproponował JHN.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Równanie z wysokimi potęgami
Albo - jeśli znasz rachunek liczb zespolonych - skorzystaj ze wzorów de Moivre’a.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy