Tangens i ułamek
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Tangens i ułamek
Udowodnić elementarnie, że \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{16}\right) < \frac{1}{5} }\).
Ostatnio zmieniony 6 maja 2021, o 21:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Tangens i ułamek
Uznać argument tangensa jakby był połówką kąta i zamienić go na odpowiedni iloraz ze wzoru na tangensa połowy kąta w zależności od sinusa i cosinusa całego kąta. Wartości tych ostatnich są znane (albo można je wyznaczyć) - pozostają przekształcenia wyrażeń z pierwiastkami.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Tangens i ułamek
Niech \(\displaystyle{ \tg \: \alpha = \frac{1}{5}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\). Z monotoniczności tangensa mamy
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{16} \right) < \frac{1}{5} \iff \frac{\pi}{16} < \alpha \iff \frac{\pi}{8} < 2\alpha \iff \tg \left( \frac{\pi}{8} \right) < \tg(2 \alpha)}\),
a ze wzoru na tangens dwukrotności kąta
\(\displaystyle{ \tg(2 \alpha) = \frac{2 \tg \: \alpha}{1-\tg^2 \: \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left( \frac{1}{5} \right)^2} = \frac{5}{12}}\).
Powtarzając to rozumowanie dostajemy, że początkowa nierówność jest równoważna \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) < \frac{120}{119}}\), a stąd wniosek, że jest prawdziwa.
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{16} \right) < \frac{1}{5} \iff \frac{\pi}{16} < \alpha \iff \frac{\pi}{8} < 2\alpha \iff \tg \left( \frac{\pi}{8} \right) < \tg(2 \alpha)}\),
a ze wzoru na tangens dwukrotności kąta
\(\displaystyle{ \tg(2 \alpha) = \frac{2 \tg \: \alpha}{1-\tg^2 \: \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left( \frac{1}{5} \right)^2} = \frac{5}{12}}\).
Powtarzając to rozumowanie dostajemy, że początkowa nierówność jest równoważna \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) < \frac{120}{119}}\), a stąd wniosek, że jest prawdziwa.