Strona 1 z 1
Tangens i ułamek
: 6 maja 2021, o 21:48
autor: mol_ksiazkowy
Udowodnić elementarnie, że \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{16}\right) < \frac{1}{5} }\).
Re: Tangens i ułamek
: 6 maja 2021, o 22:33
autor: piasek101
Uznać argument tangensa jakby był połówką kąta i zamienić go na odpowiedni iloraz ze wzoru na tangensa połowy kąta w zależności od sinusa i cosinusa całego kąta. Wartości tych ostatnich są znane (albo można je wyznaczyć) - pozostają przekształcenia wyrażeń z pierwiastkami.
Re: Tangens i ułamek
: 6 maja 2021, o 22:50
autor: Dasio11
Niech \(\displaystyle{ \tg \: \alpha = \frac{1}{5}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\). Z monotoniczności tangensa mamy
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{16} \right) < \frac{1}{5} \iff \frac{\pi}{16} < \alpha \iff \frac{\pi}{8} < 2\alpha \iff \tg \left( \frac{\pi}{8} \right) < \tg(2 \alpha)}\),
a ze wzoru na tangens dwukrotności kąta
\(\displaystyle{ \tg(2 \alpha) = \frac{2 \tg \: \alpha}{1-\tg^2 \: \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - \left( \frac{1}{5} \right)^2} = \frac{5}{12}}\).
Powtarzając to rozumowanie dostajemy, że początkowa nierówność jest równoważna \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{\pi}{4} \right) < \frac{120}{119}}\), a stąd wniosek, że jest prawdziwa.