Przekształcenie wyrażenia

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Przekształcenie wyrażenia

Post autor: 41421356 »

Jak uzasadnić równość:

\(\displaystyle{ \left(\sin x-\cos x\right)^2-1=-\left(\sin x +\cos x\right)^2+1}\)

bez podnoszenia tego do kwadratu? Próbowałem ze wzoru na różnicę kwadratów, ale nie poszło.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: Dilectus »

Zauważ, że
\(\displaystyle{ (\sin x-\cos x)^2=1-\sin2x}\)

\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^2= 1+\sin2x}\)
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: 41421356 »

A jak mam to zauważyć? To przejście chyba wymaga jakiegoś wyjaśnienia (dodam, że wyjaśnienie z podniesieniem do kwadratu jest mi znane i nie o takie pytam).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: a4karo »

`(s-c)^2+(s+c)^2=(s-c)^2+2(s-c)(s+c)+(s+c)^2 -2(s-c)(s+c)=(s-c+s+c)^2-2(s^2-c^2)...`
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: Janusz Tracz »

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\left(\sin x-\cos x\right)^2-1}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=-\left(\sin x +\cos x\right)^2+1}\). Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'=g'}\) zatem funkcje \(\displaystyle{ f}\) oraz \(\displaystyle{ g}\) są równe z dokładnością co do pewnej stałej którą łatwo wyznaczyć jako ich różnicę w konkretnym punkcie np.: \(\displaystyle{ x=0}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: a4karo »

Janusz Tracz pisze: 17 kwie 2021, o 12:18 \(\displaystyle{ g}\) są równe z dokładnością co do pewnej stałej
Chcesz powiedzieć, że jeżeli Ty masz 100 a ja 200, to mamy tyle samo z dokładnością do pewnej stałej? Dużo lepiej jest powiedzieć, że różnią się o stałą.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: 41421356 »

a4karo pisze: 17 kwie 2021, o 12:11 `(s-c)^2+(s+c)^2=(s-c)^2+2(s-c)(s+c)+(s+c)^2 -2(s-c)(s+c)=(s-c+s+c)^2-2(s^2-c^2)...`
Genialne! O coś takiego mi właśnie chodziło. Dziękuję Wszystkim za pomoc.
ODPOWIEDZ