Przekształcenie wyrażenia

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 363 razy
Pomógł: 4 razy

Przekształcenie wyrażenia

Post autor: 41421356 » 17 kwie 2021, o 10:31

Jak uzasadnić równość:

\(\displaystyle{ \left(\sin x-\cos x\right)^2-1=-\left(\sin x +\cos x\right)^2+1}\)

bez podnoszenia tego do kwadratu? Próbowałem ze wzoru na różnicę kwadratów, ale nie poszło.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2643
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 368 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: Dilectus » 17 kwie 2021, o 11:45

Zauważ, że
\(\displaystyle{ (\sin x-\cos x)^2=1-\sin2x}\)

\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^2= 1+\sin2x}\)

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 363 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: 41421356 » 17 kwie 2021, o 11:53

A jak mam to zauważyć? To przejście chyba wymaga jakiegoś wyjaśnienia (dodam, że wyjaśnienie z podniesieniem do kwadratu jest mi znane i nie o takie pytam).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20212
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: a4karo » 17 kwie 2021, o 12:11

`(s-c)^2+(s+c)^2=(s-c)^2+2(s-c)(s+c)+(s+c)^2 -2(s-c)(s+c)=(s-c+s+c)^2-2(s^2-c^2)...`

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3515
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: Janusz Tracz » 17 kwie 2021, o 12:18

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\left(\sin x-\cos x\right)^2-1}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=-\left(\sin x +\cos x\right)^2+1}\). Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ f'=g'}\) zatem funkcje \(\displaystyle{ f}\) oraz \(\displaystyle{ g}\) są równe z dokładnością co do pewnej stałej którą łatwo wyznaczyć jako ich różnicę w konkretnym punkcie np.: \(\displaystyle{ x=0}\).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20212
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3429 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: a4karo » 17 kwie 2021, o 12:22

Janusz Tracz pisze:
17 kwie 2021, o 12:18
\(\displaystyle{ g}\) są równe z dokładnością co do pewnej stałej
Chcesz powiedzieć, że jeżeli Ty masz 100 a ja 200, to mamy tyle samo z dokładnością do pewnej stałej? Dużo lepiej jest powiedzieć, że różnią się o stałą.

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 363 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Przekształcenie wyrażenia

Post autor: 41421356 » 1 cze 2021, o 11:27

a4karo pisze:
17 kwie 2021, o 12:11
`(s-c)^2+(s+c)^2=(s-c)^2+2(s-c)(s+c)+(s+c)^2 -2(s-c)(s+c)=(s-c+s+c)^2-2(s^2-c^2)...`
Genialne! O coś takiego mi właśnie chodziło. Dziękuję Wszystkim za pomoc.

ODPOWIEDZ