Wartość wyrażenia

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
dinx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 22 cze 2020, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 3 razy

Wartość wyrażenia

Post autor: dinx »

Czy wartość podanego wyrażenia jest liczbą całkowitą?
\(\displaystyle{ \cos{30}^{∘}+\cos{60}^{∘}+\cos{90}^{∘}+...+\cos{870}^{∘}+\cos{900}^{∘}}\)

Jak to obliczyć nie używając wzorów redukcyjnych? Temat: Kąt obrotu.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wartość wyrażenia

Post autor: Premislav »

Nie wiem, po co na siłę unikać wzorów redukcyjnych, ale jakoś się da. Może tak:
pogrupujmy ostatni składnik z pierwszym, przedostatni z drugim etc. i skorzystajmy ze wzoru na sumę kosinusów:
\(\displaystyle{ \cos x+\cos y=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}\).
Okazuje się, że nasze wyrażenie jest równe
\(\displaystyle{ 30\cos 435^{\circ}\cos 465^{\circ}}\)

Jak teraz użyjemy naszego wzoru w drugą stronę (dla \(\displaystyle{ x=900^{\circ}, \ y=30^{\circ}}\)), to wywnioskujemy, że suma z zadania wynosi
\(\displaystyle{ 15\left(\cos 900^{\circ}+\cos 30^{\circ}\right)}\)
Pierwszy składnik w nawiasie jest całkowity, bo mamy tu kosinus wielokrotności \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), a drugi nie jest nawet wymierny, wszak
\(\displaystyle{ \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\). Stąd widać już, ze suma nie jest całkowita.
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2021, o 16:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
dinx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 22 cze 2020, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24
Podziękował: 3 razy

Re: Wartość wyrażenia

Post autor: dinx »

Premislav pisze: 6 kwie 2021, o 16:12 Nie wiem, po co na siłę unikać wzorów redukcyjnych, ale jakoś się da. Może tak:
pogrupujmy ostatni składnik z pierwszym, przedostatni z drugim etc. i skorzystajmy ze wzoru na sumę kosinusów:
\(\displaystyle{ \cos x+\cos y=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}\).
Okazuje się, że nasze wyrażenie jest równe
\(\displaystyle{ 30\cos 435^{\circ}\cos 465^{\circ}}\)

Jak teraz użyjemy naszego wzoru w drugą stronę (dla \(\displaystyle{ x=900^{\circ}, \ y=30^{\circ}}\)), to wywnioskujemy, że suma z zadania wynosi
\(\displaystyle{ 15\left(\cos 900^{\circ}+\cos 30^{\circ}\right)}\)
Pierwszy składnik w nawiasie jest całkowity, bo mamy tu kosinus wielokrotności \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), a drugi nie jest nawet wymierny, wszak
\(\displaystyle{ \cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\). Stąd widać już, ze suma nie jest całkowita.
Niestety nie możemy użyć takich wzorów, ponieważ jest to wprowadzenie do trygonometrii. Wynik mi wyszedł \(\displaystyle{ -1}\), ale nie wiem jak to prościej zapisać, niż obliczenie wartości dla \(\displaystyle{ \cos30^\circ...\cos360^\circ}\) i stwierdzenie, że to jest równe \(\displaystyle{ 0}\), z kąta obrotu wiemy, że \(\displaystyle{ \cos(2\cdot360^\circ+180^\circ)=\cos180^\circ}\), czyli jak dodamy sobie te wartości wychodzi \(\displaystyle{ -1}\). Ale czy da się to zapisać krócej bez wzorów?
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2021, o 17:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wartość wyrażenia

Post autor: Jan Kraszewski »

Premislav pisze: 6 kwie 2021, o 16:12Stąd widać już, ze suma nie jest całkowita.
Jesteś pewny?

Na mój gust
\(\displaystyle{ \cos{30}^\circ+\cos{60}^\circ+\cos{90}^\circ+\cos{120}^\circ+\cos{150}^{\circ}+\cos 180^\circ=-1}\)
\(\displaystyle{ \cos{210}^\circ+\cos{240}^\circ+\cos{270}^\circ+\cos{300}^\circ+\cos{330}^{\circ}+\cos 360^\circ=1}\)
itd.

Dlatego ta suma wynosi \(\displaystyle{ -1}\).

Nawiasem mówiąc, Premislav nawet jak oszukuje, to robi to z gracją, trochę mi zajęło, zanim namierzyłem błąd:
Premislav pisze: 6 kwie 2021, o 16:12 \(\displaystyle{ 30\cos 435^{\circ}\cos 465^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ \frac{870^\circ-60^\circ}{2}\ne 435^{\circ}}\)

JK
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wartość wyrażenia

Post autor: Premislav »

Ech, ale bzdury, przepraszam za zamieszanie. :(
ODPOWIEDZ