Oblicz wartość prostego wyrażenia (mam źle)

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Oblicz wartość prostego wyrażenia (mam źle)

Post autor: Niepokonana »

Dzień dobry, proszę o wskazanie mi, gdzie mam źle.

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{4}{3}}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ |\sin x - \cos x|}\)

Moje rozwiązanie:
Dziedzina: \(\displaystyle{ \sin x \in (0;1]}\) i \(\displaystyle{ \cos x \in (0;1]}\), bo cztery trzecie jest większe od jeden.
\begin{cases} \sin x+ \cos x = \frac{4}{3} \\ \sin ^{2} x +\cos ^{2} x =1 \end{cases}
Układ równań jest symetryczny.
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{4}{3} - \cos x}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x- \frac{16}{9} - \frac{8}{3}\cos x + \cos ^2 x =1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos^2 x- \frac{8}{3} \cos x + \frac{7}{9} =0}\)
\(\displaystyle{ 18\cos^2 x-24\cos x +7=0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=6 \sqrt{2} }\)
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{24+6 \sqrt{2}}{18} >1}\) (sprzeczne) lub \(\displaystyle{ \cos x = \frac{24-6 \sqrt{2}}{18}= \frac{4}{3}- \frac{ \sqrt{2} }{3} }\)
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{ \sqrt{2} }{3} }\)
\(\displaystyle{ |\sin x - \cos x |=| \frac{4}{3}- \frac{ \sqrt{2} }{3} -\frac{ \sqrt{2} }{3} |= \frac{4-2 \sqrt{2} }{3} }\)
Co mam źle?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Oblicz wartość prostego wyrażenia (mam źle)

Post autor: Tmkk »

Jak podstawiasz pod wzorek na miejsca zerowe, to powinnaś podzielić przez \(\displaystyle{ 2a}\) a nie \(\displaystyle{ a}\), gdzie \(\displaystyle{ a=18}\) tutaj.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Oblicz wartość prostego wyrażenia (mam źle)

Post autor: Janusz Tracz »

Niepokonana pisze: 22 mar 2021, o 11:44 Dziedzina: \(\displaystyle{ \sin x \in (0;1]}\) i \(\displaystyle{ \cos x \in (0;1]}\)
Dziedzina czego? Po co to jest? Zaproponuje inny sposób. Zauważ, że:

\(\displaystyle{ \left| \xi-\eta\right| = \sqrt{\left( \xi + \eta \right)^2-4\xi \eta} }\)
kładąc \(\displaystyle{ \xi=\sin x}\) oraz \(\displaystyle{ \eta= \cos x}\) widać, że jedyne co trzeba wyznaczyć to \(\displaystyle{ \sin x\cos x}\), a to łatwo wynika z podniesienia do kwadratu \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \frac{4}{3}}\). Zatem \(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x= \frac{16}{9} }\). Więc \(\displaystyle{ \sin x\cos x= \frac{7}{18} }\). Zatem:

\(\displaystyle{ \left| \sin x-\cos x\right| = \sqrt{ \frac{16}{9} -4 \cdot \frac{7}{18} } = \frac{ \sqrt{2} }{3} }\)
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

Re: Oblicz wartość prostego wyrażenia (mam źle)

Post autor: AiDi »

Niepokonana pisze: 22 mar 2021, o 11:44 \(\displaystyle{ \cos ^{2} x- \frac{16}{9} - \frac{8}{3}\cos x + \cos ^2 x =1}\)
Przed \(\displaystyle{ \frac{16}{9}}\) powinien być plus.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Oblicz wartość prostego wyrażenia (mam źle)

Post autor: Niepokonana »

Ok, dziękuję Aidi i Tmmk za pomoc.
Panie Tracz, ma Pan rację, tak jest prościej, ale robiłam szybko i nie pomyślałam.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Oblicz wartość prostego wyrażenia (mam źle)

Post autor: a4karo »

Dobra rada : jak coś nie wychodzi, to robisz te same rachunki jeszcze raz i jeszcze raz nie patrząc na to, co zrobiłaś poprzednio. A dopiero potem pisz posta.
ODPOWIEDZ