równanie trygonometryczne podwójny argument

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
major37
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1631
Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Witaszyce
Podziękował: 288 razy
Pomógł: 72 razy

równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: major37 »

Proszę o wytłumaczenie mi dlaczego tak jest. Łatwo jest rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \cos(2x)= \frac{\sqrt{2}}{2} }\). Ale jak przekształcimy lewą stronę równania i otrzymamy \(\displaystyle{ \cos^2 x= \frac{\sqrt{2}+2}{4}}\), to dlaczego jak obustronnie pierwiastkuje to nie otrzymamy tego samego co w pierwszym równaniu ? Gdzie mam błąd w myśleniu ?
Ostatnio zmieniony 12 mar 2021, o 21:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: a4karo »

A czemu pierwiastkujac `\cos^2 x` miałbyś dostać `\cos 2x`?
major37
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1631
Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Witaszyce
Podziękował: 288 razy
Pomógł: 72 razy

Re: równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: major37 »

Z pierwszego równanie otrzymujemy \(\displaystyle{ 2x= \frac{\pi}{4} +2k \pi }\), więc otrzymamy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{8}+k \pi }\). To dlaczego z cosinusa do kwadratu tego nie otrzymamy ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: a4karo »

Pokaż rachunki, bo bez tego trudno cos wnioskować. A rozwiązanie , które podałeś nie jest kompletne - brakuje drugiej serii
major37
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1631
Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Witaszyce
Podziękował: 288 razy
Pomógł: 72 razy

Re: równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: major37 »

Ok, z \(\displaystyle{ \cos(2x)= \frac{\sqrt2}{2} }\) otrzymamy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{8} +k \pi }\) lub \(\displaystyle{ x=- \frac{\pi}{8} +k \pi }\) A teraz zapiszemy trochę inaczej \(\displaystyle{ \cos^2 x- \sin^2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} }\) i dalej \(\displaystyle{ \cos^2 x - (1-\cos^2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2} }\),
\(\displaystyle{ 2\cos^2 x= \frac{\sqrt{2}}{2} +1 }\)
\(\displaystyle{ 2\cos^2 x = \frac{\sqrt{2}+2}{2} }\)
\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{\sqrt{2}+2}{4} }\)

Co jest źle ?
Ostatnio zmieniony 12 mar 2021, o 21:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: a4karo »

Nic. Dlaczego ma być żle?

Dodano po 1 minucie 4 sekundach:
Zauważ, że przy okazji udało Ci się wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ \cos \pi/8}\)
major37
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1631
Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Witaszyce
Podziękował: 288 razy
Pomógł: 72 razy

Re: równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: major37 »

To dlaczego nie mogę pierwiastkować obustronnie, aby wyliczyć cosinusa x ? Wychodzi cosinus x równy jakiemuś dziwnemu pierwiastkowi i teraz skąd wywnioskować ile jest równy x ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: a4karo »

Oczywiście, że możesz pierwiastkować i dostaniesz \(\displaystyle{ \cos x=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\). Taki kosinus ma akurat kąt `\pi/8`, ale w szkole tego nie uczą.

Dlatego właśnie napisałem, że w ten sposób udało Ci się wyliczyć kosinus tego kąta.
Ostatnio zmieniony 14 mar 2021, o 15:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
major37
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1631
Rejestracja: 30 wrz 2010, o 13:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Witaszyce
Podziękował: 288 razy
Pomógł: 72 razy

Re: równanie trygonometryczne podwójny argument

Post autor: major37 »

Właśnie tego mi brakowało. Dzięki za pomoc :)
ODPOWIEDZ