Dlaczego można podnosić do kwadratu

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
ywyxw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 9 mar 2021, o 18:44
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23

Dlaczego można podnosić do kwadratu

Post autor: ywyxw »

Z zdania: oblicz \(\displaystyle{ \sin 2x\ }\). Witam, dlaczego mogę podnieś do kwadratu stronami równanie, jeżeli obie strony nie muszą być dodatnie
\(\displaystyle{ \sin x \ + \cos x\ = \sqrt{2} }\).
Ostatnio zmieniony 9 mar 2021, o 21:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Dlaczego można podnosić do kwadratu

Post autor: piasek101 »

W tym zadaniu to nie ma znaczenia - jeśli lewa byłaby ujemna (a nie jest), to wartości obu funkcji musiałyby być ujemne, a ich iloczyn i tak byłby dodatni.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dlaczego można podnosić do kwadratu

Post autor: Jan Kraszewski »

W tym zadaniu to nie ma znaczenia, bo masz przeprowadzić wnioskowanie: z założenia \(\displaystyle{ \sin x+ \cos x= \sqrt{2} }\) masz wywnioskować wartość \(\displaystyle{ \sin 2x.}\) Podniesienie do kwadratu obu stron to przejście

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x= \sqrt{2} \Rightarrow \left( \sin x + \cos x\right)^2=2 }\)

więc w pożądanym przez nas "kierunku".

Ogólnie: zawsze możesz podnieść równanie obustronnie do kwadratu, musisz tylko rozumieć, co to znaczy...

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dlaczego można podnosić do kwadratu

Post autor: a4karo »

A w tym przypadku znaczy to tyle że rozwiązania, które znajdziesz będą zawierały rozwiązania Twojego równania, a także rozwiązanie równania `\sin x+\cos x=-\sqrt2`, którego "kwadrat" wygląda tak samo.

PS ta uwaga miałaby znaczenie gdybyś miał wyznaczyć "`x`
ODPOWIEDZ