Równanie postaci tgx=x+c

[maziek]

Dzień dobry,

czy równanie postaci \(\displaystyle{ \tg x=x+c}\) (\(\displaystyle{ c}\) - stała) - można rozwiązać analitycznie? Jak?


ukłony, maziek

[pkrwczn]

Nie da się.

[Dilectus]

Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji

\(\displaystyle{ y=\tg x}\)
i
\(\displaystyle{ y=x+c}\)

Zobaczysz wtedy, że jest nieskończenie wiele rozwiązań równania \(\displaystyle{ \tg x=x+c}\) dla dowolnego parametru \(\displaystyle{ c}\).

[Janusz Tracz]

Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji

\(\displaystyle{ y=\tg x}\)
i
\(\displaystyle{ y=x+c}\)

Zobaczysz wtedy, że jest nieskończenie wiele rozwiązań równania \(\displaystyle{ \tg x=x+c}\) dla dowolnego parametru \(\displaystyle{ c}\).

A jak się to ma do pytania?

[maziek]

Dzień dobry, dziękuję za doprowadzenie mego postu do wymaganej postaci i za odpowiedzi. Wiem, że to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań (mogę zawęzić dziedzinę do \(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac{\pi}{2}\right\rangle }\) rad). Wiem też, że można je rozwiązać graficznie a także numerycznie.

Dlaczego jednak nie można analitycznie?


ukłony, maziek

[Janusz Tracz]

Dlaczego jednak nie można analitycznie?

Ogólnie to trudne pytanie. Takie formalne dowody nieanalityczności wymagają określenia co konkretnie rozumiemy przez rozwiązanie analityczne. I często takie dowody bywają trudne. Ale ja osobiście patrzę na to tak, że jeśli mamy równanie \(\displaystyle{ f(x)=c}\) to rozwiązaniem jest zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ c\right\} \right] }\) czyli przeciwobraz \(\displaystyle{ \left\{ c\right\} }\). I elementy tego zbioru zwykle wyznaczamy wyznaczając funkcję odwrotną do \(\displaystyle{ f}\). Oczywiście taka funkcja bardzo często nie istnieje globalnie ale lokalnie kawałkami \(\displaystyle{ f}\) można odwracać. I tak kawałkami wyznaczamy rozwiązania.

Przykładowo \(\displaystyle{ x^2=4}\) można rozwiązać znajdując funkcje odwrotne do \(\displaystyle{ x^2}\) dla lewej i prawej gałęzi paraboli. Tymi funkcjami są \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) oraz \(\displaystyle{ -\sqrt{x} }\). Co daje rozwiązanie \(\displaystyle{ \sqrt{4}=2 }\) oraz \(\displaystyle{ -\sqrt{4}=-2 }\).

I teraz jak mamy równanie \(\displaystyle{ \tg x+x=c}\) to rozwiązanie sprowadza się do wyznaczenia \(\displaystyle{ f^{-1}}\) (kawałkami), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=\tg x+x}\). A to wymaga wyznaczenia czegoś w stylu funkcji jednocześnie odwrotnej do funkcji trygonometrycznej \(\displaystyle{ \tg x}\) oraz do funkcji liniowej \(\displaystyle{ x}\). I to jest tu główny problem. Nie mamy takich funkcji odwrotnych do \(\displaystyle{ \tg x+x}\). Więc wyznaczenie tych szukanych \(\displaystyle{ x}\)-sów wymaga albo wprowadzenia jakichś abstrakcyjnych funkcji. I to przestaje być podejście analityczne. Albo metod numerycznych. Formalnie jednak to wymaga jakiegoś dowodu. A taki dowód wymaga formalnego ugruntowania co rozumiemy przez analityczność. W konsekwencji zagadnienie wydaje się trudne.

[maziek]

Bardzo dziękuję za odpowiedź. Nie jestem pewien, czy zrozumiałem, ale wydaje mi się, że tak .

ukłony, maziek

[Dasio11]

Mówiąc prosto: równania prawdopodobnie nie da się rozwiązać analitycznie, bo matematycy próbowali przez kilkaset lat i żadnemu się nie udało. ;>

[maziek]

Haha, to jest też dobra odpowiedź, choć nie analityczna, lecz w pewnym sensie "numeryczna"

ukłony, maziek

[pkrwczn]

Może powinniśmy mównić o rozwiązaniu za pomocą fukncji elementranych. Rozwiązanie równania \(\displaystyle{ \tg(x)=c}\) też przecież rozwiązujemy numerycznie, chociaż opieramy się na funkcjach elementarnych to potrzebny jest kalkulator.

To też zależy też od tego z jakimi funkcjami elementranymi pracujemy. Gdyby nigdy nikt nie zdefiniował tangensa i innych funkcji trygonometrycznych i zamiast tego zdefiniował jekieś inne np \(\displaystyle{ h:x \rightarrow \tg(x)-x}\), to wtedy z równaniem \(\displaystyle{ h(x)=c}\) nie było by problemu bo wszystkie kalkulatory były by w stanie to policzyć (ale mogłyby nie mieć np tangensa). I funkcje elementare są dobrane właściwie dobrowolnie, więc trudność w rozwiązaniu równania typu \(\displaystyle{ h(x)=\tg(x)-x=c}\) zależy od tego na czym analiza jest oparta, czyli na jakich funkcjach elementarnych.

[dzialka11o]

Dla wartosci \(\displaystyle{ c=0}\) mamy \(\displaystyle{ \tg X =x }\)
przy użyciu tylko kalkulatora wielofunkcyjnego otrzymałem dłutość śtycznej \(\displaystyle{ x =89,35883917.....}\) tu \(\displaystyle{ X=x}\)
T.W.

Dodano po 1 godzinie 23 minutach 1 sekundzie:
..............................................................................

Moje osobiste zapytanie /
w sprawie analizy numerycznej przy użyciu tylko kalkulatora wielofunkcyjnego ,
\(\displaystyle{ \sin X = \cos x}\) tu otrzymamy \(\displaystyle{ X =0, 999999953....}\)
jak zinterpretować ten wynik.
wynik ten otrzymałem - wstawiamy dowolną wartosc kąta \(\displaystyle{ X}\) np. ( 54)
--- tu klikałem kolejno na klawisz sin następnie na klawisz cos i ponownie tak dalej .

[maziek]

Nadmienię, po co mi to było - bo może wszedłem w ślepą uliczkę niepotrzebnie. Jest takie znane (i trywialne) zadanie, czy jeśli Ziemię opasać po równiku liną o długości o 10 m większej, niż obwód Ziemi - to zdoła się pod nią przeczołgać człowiek.

Modyfikacja zadania polega na uściśleniu: na jaką wysokość od powierzchni Ziemi można odciągnąć ww. linę w jednym punkcie - formując trójkąt równoramienny złożony z dwóch stycznych z tego punktu do równika oraz o podstawie z cięciwy pomiędzy punktami styczności, przy założeniu, że reszta liny ściśle przylega do równika. Czy to zadanie można rozwiązać analitycznie? Bo mi o dziwo wychodzi, że nie. Co jest o tyle dziwne, że można je rozwiązać w ogólności za pomocą sznurka, wałka i palca. Nawiasem mówiąc numeryczne rozwiązanie prowadzi do zadziwiającej wartości.

--
ukłony

[Janusz Tracz]

Czy to zadanie można rozwiązać analitycznie? Bo mi o dziwo wychodzi, że nie. Co jest o tyle dziwne, że można je rozwiązać w ogólności za pomocą sznurka, wałka i palca.

Czy uważasz zachodzi implikacja:

\(\displaystyle{ \text{umiem 'mierzyć' sznurkiem, walcem, palcem} \ \Rightarrow \ \text{pomiaru można dokonać analitycznie}}\)

czy ogólnie: że jeśli umiesz coś mierzyć to możesz to analitycznie wyznaczyć?

Co do zadania to z opisanego przez Ciebie modelu wynika, że jeśli \(\displaystyle{ \ell}\) to bok trójkąta równoramiennego, a \(\displaystyle{ R}\) to promień ziemi to wysokość \(\displaystyle{ h}\) na którą można naciągnąć sznurek będzie spełniać równanie \(\displaystyle{ \ell^2+R^2=(R+h)^2}\). Zatem \(\displaystyle{ h=-R \pm \sqrt{\ell^2+R^2} }\). Oczywiście ujemne rozwiązanie odrzucamy. Zatem \(\displaystyle{ h=-R + \sqrt{\ell^2+R^2} }\).

[maziek]

Powyższa implikacja nie zachodzi oczywiście, tym niemniej w tak wydawałoby się prostym wypadku dla mnie osobiście jest to dziwne i budzące zdumienie.

Co do przedłożonego rozwiązania jest ono słuszne - ale zapytam podchwytliwie skąd znasz wartość \(\displaystyle{ \ell}\) ?

[Janusz Tracz]

Co do przedłożonego rozwiązania jest ono słuszne - ale zapytam podchwytliwie skąd znasz wartość \(\displaystyle{ \ell}\) ?

Wartość \(\displaystyle{ \ell}\) to połowa nadmiaru liny.