Równanie postaci tgx=x+c

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
maziek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 8 wrz 2008, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie postaci tgx=x+c

Post autor: maziek »

Nie jest jak piszesz. \(\displaystyle{ \ell}\) składa się zarówno z tego, co piszesz, jak i ze znacznie dłuższego odcinka "odciągniętego" od obwodu. Tak dla przybliżenia powiem tylko, że numerycznie obliczona wysokość h wynosi ponad pół kilometra.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Równanie postaci tgx=x+c

Post autor: Janusz Tracz »

Ok. Faktycznie w \(\displaystyle{ \ell}\) jest jeszcze ten kawałek obwodu. Choć równanie się nie zmieni. Kłopot obliczenia \(\displaystyle{ \ell}\) być może (nie liczyłem) jest rozwiązywalny tylko numerycznie.
maziek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 8 wrz 2008, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie postaci tgx=x+c

Post autor: maziek »

Tak. Oczywiście wszystko jest związane w ten sposób, że jeśli założymy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jako połowę kąta pomiędzy odcinkami łączącymi punkt styczności i punkt "odciągnięcia" ze środkiem Ziemi, to obwód Ziemi minus zdwojony łuk oparty na tym kącie plus zdwojone \(\displaystyle{ \ell}\) jest równe obwodowi Ziemi plus 10 m. Sęk w tym, że nie widzę innego sposobu związania \(\displaystyle{ \ell}\) z kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) i promieniem Ziemi niż funkcja trygonometryczna. Co prowadzi, w skrócie, np. do wzmiankowanego \(\displaystyle{ \tg\,\alpha=\alpha+c}\)
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: Równanie postaci tgx=x+c

Post autor: bosa_Nike »

Nie potrafię pomóc w rozwiązaniu, zwłaszcza że moje też prowadzi do tego typu zależności. Jeżeli chodziłoby jedynie o ocenę wysokości, to przydatna mogłaby okazać się obserwacja, że skoro stosunek długości nadmiaru liny do długości promienia równikowego jest mały, to kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) też będzie mały, więc IMHO rozsądnym inżynierskim przybliżeniem będzie wzięcie dwóch pierwszych składników rozwinięcia tangensa w szereg Maclaurina. Możesz sprawdzić rozbieżność między Twoim wynikiem a rezultatem zastosowania takiego podejścia.
maziek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 8 wrz 2008, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie postaci tgx=x+c

Post autor: maziek »

Ogólnie dobrym przybliżeniem jest założenie, że łuk pomiędzy punktami styczności jest odcinkiem (z tego samego powodu - że jest krótki w stosunku do promienia równikowego). Czyli, że w istocie poszukujemy wysokości wzmiankowanego trójkąta równoramiennego. Przy takim założeniu otrzymujemy wynik ~542 m, zaś rozwiązując numerycznie ~564 m, więc wydaje się całkiem nieźle. Natomiast o metodzie, o której piszesz nie słyszałem i muszę to zbadać (aczkolwiek i tak nie będzie to rozwiązanie analityczne - chyba?). Kąt, numerycznie obliczony, wynosi ~0,013 rad (ok. 45').
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: Równanie postaci tgx=x+c

Post autor: bosa_Nike »

To rozwijanie miałoby posłużyć do przybliżonego rozwiązania równania będącego tematem tego wątku, mielibyśmy bowiem \(\displaystyle{ \alpha +\frac{l}{R}=\tan\alpha\approx\alpha+\frac{\alpha ^3}{3}}\), ale to już musiałbyś sam ocenić, czy rozbieżność końcowego rezultatu w stosunku do wyniku przyjętego jako punkt odniesienia jest dla Ciebie akceptowalna.
dzialka11o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno
Podziękował: 55 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Równanie postaci tgx=x+c

Post autor: dzialka11o »

Czy rozumowanie jest słuszne do obliczenia podanego przykładu ;
Jeśli do obwodu równika Ziemi dodamy 1m i podobnie do obwodu dowolnego koła dodamy też 1m
to odległosci opasania Ziemi jak i opasania dowolnego kołą bedą te same (niezależne od pierwotnycc promieni )
Bez obliczeń numerycznych otrzymany wynik .
( szerokość opasania w podanych przykładach jest wielkościa niezależną od prmieni dowolnych kół )
.
T.W.

[ciach]
Ostatnio zmieniony 9 kwie 2021, o 18:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm. Nowe pytanie - nowy temat.
ODPOWIEDZ