Cześć,
nie mam pojęcia jak zabrać się za następujące zadanie:
Jeśli \(\displaystyle{ \tan \frac{x}{2} = \tan A\cdot \tanh B }\) udowodnij, że \(\displaystyle{ \tan x = \frac{\sin 2A\cdot \sinh 2B}{1+\cos 2A\cdot \cosh 2B}. }\)
Proszę o jakieś wskazówki albo rozwiązanie.
Problem z dowodem, funkcje trygonometryczne i hiperboliczne
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 11 razy
Problem z dowodem, funkcje trygonometryczne i hiperboliczne
Ostatnio zmieniony 14 lut 2021, o 12:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa tematu.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa tematu.
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Problem z dowodem, funkcje trygonometryczne i hiperboliczne
Ja bym zaczął od wzoru na tangens kąta podwojonego.
JK
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Problem z dowodem, funkcje tryb i hip
\(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\\=\frac{2\tg \left(\frac{x}{2}\right)}{1-\tg^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{2\tg A\ \tanh B}{1-\tg^{2}A\tanh^{2}B}\\=\frac{2\sin A\cos A \tanh B}{\cos^{2}A-\sin^{2}A\tanh^{2}B}\\=\frac{(2\sin A\cos A) \cdot (2\sinh B \cosh B)}{2\cos^{2}A\cosh^{2}B-2\sin^{2}A\sinh^{2}B}}\)
Dalej stosujesz w liczniku wzór na sinus podwojonego kąta i sinus hiperboliczny podwojonego argumentu, a w mianowniku korzystasz z jedynki hiperbolicznej: \(\displaystyle{ \sinh^{2}B=\cosh^{2}B-1}\), no i ze wzorku na kosinus hiperboliczny dla podwojonego argumentu: \(\displaystyle{ \cosh(2B)=2\cosh^{2}B-1}\).
Dalej stosujesz w liczniku wzór na sinus podwojonego kąta i sinus hiperboliczny podwojonego argumentu, a w mianowniku korzystasz z jedynki hiperbolicznej: \(\displaystyle{ \sinh^{2}B=\cosh^{2}B-1}\), no i ze wzorku na kosinus hiperboliczny dla podwojonego argumentu: \(\displaystyle{ \cosh(2B)=2\cosh^{2}B-1}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 11 razy