Problem z dowodem, funkcje trygonometryczne i hiperboliczne

[SemastianM]

Cześć,

nie mam pojęcia jak zabrać się za następujące zadanie:

Jeśli \(\displaystyle{ \tan \frac{x}{2} = \tan A\cdot \tanh B }\) udowodnij, że \(\displaystyle{ \tan x = \frac{\sin 2A\cdot \sinh 2B}{1+\cos 2A\cdot \cosh 2B}. }\)
Proszę o jakieś wskazówki albo rozwiązanie.

[Jan Kraszewski]

Ja bym zaczął od wzoru na tangens kąta podwojonego.

JK

[Premislav]

\(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\\=\frac{2\tg \left(\frac{x}{2}\right)}{1-\tg^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{2\tg A\ \tanh B}{1-\tg^{2}A\tanh^{2}B}\\=\frac{2\sin A\cos A \tanh B}{\cos^{2}A-\sin^{2}A\tanh^{2}B}\\=\frac{(2\sin A\cos A) \cdot (2\sinh B \cosh B)}{2\cos^{2}A\cosh^{2}B-2\sin^{2}A\sinh^{2}B}}\)

Dalej stosujesz w liczniku wzór na sinus podwojonego kąta i sinus hiperboliczny podwojonego argumentu, a w mianowniku korzystasz z jedynki hiperbolicznej: \(\displaystyle{ \sinh^{2}B=\cosh^{2}B-1}\), no i ze wzorku na kosinus hiperboliczny dla podwojonego argumentu: \(\displaystyle{ \cosh(2B)=2\cosh^{2}B-1}\).

[SemastianM]

Dzięki za odpowiedzi.