Cosinusy i suma

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \cos(11^{o})+ \cos(83^{o})+ \cos(155^{o})+ \cos(227^{o})+ \cos(299^{o}) =0 }\).

[Premislav]

Podzielić i pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2\sin\left(36^{\circ}\right)}\), a następnie skorzystać z tożsamości
\(\displaystyle{ 2\sin y\cos x=\sin(x+y)-\sin(x-y)}\).
Robi się z tego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sin\left(36^{\circ}\right)}\left(\sin\left(-25^{\circ}\right)+\sin\left(335^{\circ}\right)\right)=0}\)
bo \(\displaystyle{ \sin\left(335^{\circ}\right)=\sin\left(-25^{\circ}\right)}\)

[a4karo]

Niech `\alpha=\cos 11^\circ + i\sin 11^\circ` i `beta=\cos 72^\circ+i\sin 72^\circ`
Szukana suma to część rzeczywista liczby `\alpha+\alpha\beta+\cdots+\alpha\beta^4=\alpha \frac{1-\beta^5}{1-\beta}=0`

Dodano po 7 minutach 29 sekundach:
Można też inaczej:

Punkty `(\cos 11^\circ, \sin 11^\circ)` itd są wierzchołkami pięciokąta foremnego
Popatrzmy na wektory zaczepione w początku układu o końcach w tych punktach. Suma tych wektorów jest wektorem zerowym, bo nie ulega zmianie przy obrocie o kąt `72^\circ`. Stąd suma kosinusów , podobnie jak suma sinusów są zerami.

[Premislav]

Przepraszam, tam oczywiście u mnie powinno być \(\displaystyle{ \sin\left(-25^{\circ}\right)\red{-}\sin\left(335^{\circ}\right)}\),
zresztą łatwo to zauważyć. Rzecz jasna, nie mogę już edytować.

Jako ciekawostkę dodam, że zacząłem sam od sposobu a4karo z ciągiem geometrycznym, ale nie mogłem wykoncypować, czemu \(\displaystyle{ \beta^{5}=1}\). Niektórzy naprawdę nie powinni zajmować się matematyką w żadnym zakresie i wszelkie frazesy o ciężkiej pracy to zwyczajne mydlenie oczu.