Witam, mam sprawdzić, że \(\displaystyle{ \cos\left(2\arctg \frac{1}{7} \right)=\sin\left( 4\arctg \frac{1}{3} \right) }\).
Zadanie powinno być rozwiązane przy pomocy okregu trygonometrycznego, moglby mi ktos pomoc?
Równanie cyklometryczne
Równanie cyklometryczne
Ostatnio zmieniony 23 sty 2021, o 21:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie cyklometryczne
\(\displaystyle{ \cos\left(2\arctg \frac{1}{7} \right)=\sin\left( 4\arctg \frac{1}{3} \right) }\)
\(\displaystyle{ L = \cos\left[2\arctg\left(\frac{1}{7}\right)\right] }\)
\(\displaystyle{ 2\arctg\left(\frac{1}{7}\right) = x }\)
\(\displaystyle{ \arctg\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{1}{2}x }\)
\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{1}{2} x \right) = \frac{1}{7}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}{\sqrt{1 - \sin^2\left(\frac{1}{2}x\right)}} = \frac{1}{7} }\)
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{2}t \right) = t\in [-1,\ \ 1] }\)
\(\displaystyle{ \frac{t}{1 - t^2} = \frac{1}{7} }\)
\(\displaystyle{ 7 t = \sqrt{1 - t^2} }\)
\(\displaystyle{ 49 t^2 = 1 - t^2 }\)
\(\displaystyle{ 50 t^2 = 1, \ \ t = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}, \ \ t = -\frac{1}{5\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}x \right) = \frac{1}{5\sqrt{2}} }\)
\(\displaystyle{ x = 2\arcsin\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) }\)
\(\displaystyle{ \cos\left[ 2\arcsin\left( \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right] }\)
\(\displaystyle{ \cos\left[ 2\arcsin\left( \frac{1}{\sqrt{5\sqrt{2}}}\right)\right] = 1 - 2 \sin^2\left(\arcsin\left(\frac{1}{{5\sqrt{2}}}\right)\right) = 1 -2\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{50} = \frac{48}{50} = 0,96.}\)
Podobnie obliczamy stronę prawą \(\displaystyle{ P }\) równości.
Proszę sprawdzić, że \(\displaystyle{ P = \sin\left( 4\arctg \frac{1}{3} \right) = 0,96 }\)
W tym rozwiązaniu koło trygonometryczne nie jest pomocne.
\(\displaystyle{ L = \cos\left[2\arctg\left(\frac{1}{7}\right)\right] }\)
\(\displaystyle{ 2\arctg\left(\frac{1}{7}\right) = x }\)
\(\displaystyle{ \arctg\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{1}{2}x }\)
\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{1}{2} x \right) = \frac{1}{7}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}{\sqrt{1 - \sin^2\left(\frac{1}{2}x\right)}} = \frac{1}{7} }\)
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{2}t \right) = t\in [-1,\ \ 1] }\)
\(\displaystyle{ \frac{t}{1 - t^2} = \frac{1}{7} }\)
\(\displaystyle{ 7 t = \sqrt{1 - t^2} }\)
\(\displaystyle{ 49 t^2 = 1 - t^2 }\)
\(\displaystyle{ 50 t^2 = 1, \ \ t = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}, \ \ t = -\frac{1}{5\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2}x \right) = \frac{1}{5\sqrt{2}} }\)
\(\displaystyle{ x = 2\arcsin\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right) }\)
\(\displaystyle{ \cos\left[ 2\arcsin\left( \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right] }\)
\(\displaystyle{ \cos\left[ 2\arcsin\left( \frac{1}{\sqrt{5\sqrt{2}}}\right)\right] = 1 - 2 \sin^2\left(\arcsin\left(\frac{1}{{5\sqrt{2}}}\right)\right) = 1 -2\left(\frac{1}{5\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{50} = \frac{48}{50} = 0,96.}\)
Podobnie obliczamy stronę prawą \(\displaystyle{ P }\) równości.
Proszę sprawdzić, że \(\displaystyle{ P = \sin\left( 4\arctg \frac{1}{3} \right) = 0,96 }\)
W tym rozwiązaniu koło trygonometryczne nie jest pomocne.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równanie cyklometryczne
Nierówność \(\displaystyle{ \cos\left(2\arctg \frac{1}{7} \right)=\sin\left( 4\arctg \frac{1}{3} \right)}\) jest równoważna takiej:
\(\displaystyle{ (*)\quad 2\arctg \frac{1}{7} +4\arctg \frac{1}{3}=\frac{\pi}{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ 0<x,y<1}\) niech \(\displaystyle{ x=\tg X}\) i \(\displaystyle{ y=\tg Y}\). Zachodzi wtedy
\(\displaystyle{ \arctg x+\arctg y=X+Y=\arctg(\tg(X+Y))=\arctg\frac{\tg X+\tg Y}{1-\tg X\tg Y}=\arctg\frac{x+y}{1-xy}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ 4\arctg \frac{1}{3}=2(\arctg \frac{1}{3}+\arctg \frac{1}{3})=2\arctg\frac{3}{4}}\) i
\(\displaystyle{ 2\arctg \frac{1}{7} +4\arctg \frac{1}{3}=2\left(\arctg \frac{1}{7}+\arctg\frac{3}{4}\right)=2\arctg 1=\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ (*)\quad 2\arctg \frac{1}{7} +4\arctg \frac{1}{3}=\frac{\pi}{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ 0<x,y<1}\) niech \(\displaystyle{ x=\tg X}\) i \(\displaystyle{ y=\tg Y}\). Zachodzi wtedy
\(\displaystyle{ \arctg x+\arctg y=X+Y=\arctg(\tg(X+Y))=\arctg\frac{\tg X+\tg Y}{1-\tg X\tg Y}=\arctg\frac{x+y}{1-xy}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ 4\arctg \frac{1}{3}=2(\arctg \frac{1}{3}+\arctg \frac{1}{3})=2\arctg\frac{3}{4}}\) i
\(\displaystyle{ 2\arctg \frac{1}{7} +4\arctg \frac{1}{3}=2\left(\arctg \frac{1}{7}+\arctg\frac{3}{4}\right)=2\arctg 1=\frac{\pi}{2}}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie cyklometryczne
\(\displaystyle{ P = \sin \left(4\arctg\left(\frac{1}{3}\right)\right) }\)
\(\displaystyle{ 4\arctg\left(\frac{1}{3}\right) = u }\)
\(\displaystyle{ \arctg\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{4} u }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}= \tg(\left(\frac{1}{4}u \right) }\)
\(\displaystyle{ \sin(\left(\frac{1}{4}u\right) = s }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} = \frac{s}{\sqrt{1 -s^2}} }\)
\(\displaystyle{ 1- s^2 = 9 s^2 }\)
\(\displaystyle{ s = \frac{1}{\sqrt{10}}, \ \ s = -\frac{1}{\sqrt{10}} }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{1}{4}u\right) = \frac{1}{\sqrt{10}} }\)
\(\displaystyle{ u = 4\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( 4\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \right) = 2\sin\left(2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\cdot \cos \left(2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right) =4\sin \left( \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\cdot \cos\left(\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\cdot }\)
\(\displaystyle{ \cdot \left[1 -2\sin^2\left(\arcsin(\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\right] = 4\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2}\cdot \left( 1 -2\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \right) = \frac{4}{\sqrt{10}}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}\left(1 -\frac{2}{10}\right) = \frac{12}{10}\cdot \frac{8}{10} = \frac{96}{100}. }\)
\(\displaystyle{ 4\arctg\left(\frac{1}{3}\right) = u }\)
\(\displaystyle{ \arctg\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{4} u }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}= \tg(\left(\frac{1}{4}u \right) }\)
\(\displaystyle{ \sin(\left(\frac{1}{4}u\right) = s }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} = \frac{s}{\sqrt{1 -s^2}} }\)
\(\displaystyle{ 1- s^2 = 9 s^2 }\)
\(\displaystyle{ s = \frac{1}{\sqrt{10}}, \ \ s = -\frac{1}{\sqrt{10}} }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{1}{4}u\right) = \frac{1}{\sqrt{10}} }\)
\(\displaystyle{ u = 4\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( 4\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \right) = 2\sin\left(2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\cdot \cos \left(2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right) =4\sin \left( \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\cdot \cos\left(\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\cdot }\)
\(\displaystyle{ \cdot \left[1 -2\sin^2\left(\arcsin(\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\right)\right] = 4\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2}\cdot \left( 1 -2\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \right) = \frac{4}{\sqrt{10}}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}\left(1 -\frac{2}{10}\right) = \frac{12}{10}\cdot \frac{8}{10} = \frac{96}{100}. }\)