rozwiązanie równania

[Pietras2001]

Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \sin2x+2x= \frac{\pi}{2} }\)

Czy jest to w ogóle możliwe do rozwiązania?

[albanczyk123456]

Tak, można. Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=...}\). Trzeba uzasadnić jeszcze, że to jest jedyne rozwiązanie. Tutaj proponowałbym wspomóc się rachunkiem różniczkowym i zbadać pochodną funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin2x+2x}\).

[Pietras2001]

To, że ma rozwiązanie to wiem, ale czy da się je dokładnie wyliczyć.

[a4karo]

Funkcja \(\displaystyle{ \mathrm{sumplusid}=\sin x+ x}\) jest ściśle rosnąca, zatem na funkcje odwrotną.
Rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ x=\frac12\mathrm{sumplusid} ^{-1}\left(\frac\pi2\right)}\)

[Janusz Tracz]

To, że ma rozwiązanie to wiem, ale czy da się je dokładnie wyliczyć.

A co to znaczy dokładnie wyliczyć?

\(\displaystyle{ \bullet}\) Równanie \(\displaystyle{ \sin x=0}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 2,4\right] }\) ma rozwiązanie. Czy umiesz je dokładni dokładnie wyliczyć?

\(\displaystyle{ \bullet}\) Równanie \(\displaystyle{ x+\sin x= \frac{ \pi }{2} }\) ma rozwiązanie co łatwo udowodnić analitycznie. Można też uwodnić, że funkcje
\(\displaystyle{ f(x)=x+\sin x}\) można odwrócić zatem istnieje \(\displaystyle{ f^{-1}}\) (choć nie wiem jak wygląda wzór). Czyli rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ f^{-1}\left( \frac{\pi}{2} \right) }\). Jeśli na wcześniejsze pytanie odpowiedziałeś tak to teraz pewnie przyznasz, że mogę zdefiniować nową matematyczną stałą nazwać ją \(\displaystyle{ \varkappa}\) i zdefiniować jako \(\displaystyle{ \varkappa=f^{-1}\left( \frac{\pi}{2} \right)}\). Skoro dwie kreski z daszkiem \(\displaystyle{ ( \pi )}\) są rozwiązaniem \(\displaystyle{ \sin x=0}\), w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 2,4\right] }\) to niech \(\displaystyle{ \varkappa}\) będzie rozwiązaniem \(\displaystyle{ x+\sin x= \frac{ \pi }{2} }\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) A jeśli chcesz się dowiedzieć ile wynosi wartość \(\displaystyle{ \varkappa}\) to metodami numerycznymi można dość do dowolnie bliskiego przybliżenia.

[dzialka11o]

Przy okazji ; Jak obliczyć zależnośc dla wyrażenia \(\displaystyle{ \tg x =x}\) ?
t.w.